Để chứng minh các phần trong câu hỏi, chúng ta sẽ sử dụng thông tin đã cho và một số định lí cơ bản về tam giác. Dưới đây là cách chứng minh từng phần:

a) Để chứng minh rằng tam giác AMB và tam giác NMC là tam giác đồng dạng, chúng ta cần chứng minh rằng các góc của hai tam giác này là bằng nhau.

Trong tam giác AMB và tam giác NMC:
- Vì MA = MN (theo điều kiện đã cho), nên góc AMB = góc CNM (do góc ở trung tuyến bằng góc ở đỉnh trong tam giác).
- Góc BAM = góc CNM (do AMB và NMC là tam giác cân tại M và góc ở đỉnh trong tam giác cân bằng nhau).

Vậy, theo góc-góc-góc, ta kết luận được tam giác AMB và tam giác NMC là đồng dạng.

b) Để chứng minh rằng AM = BC, ta sẽ sử dụng tính chất của trung tuyến và đồng dạng tam giác.

Trong tam giác ABC, ta biết M là trung điểm của BC (do AM là trung tuyến), vì vậy AM = MB.

Trong tam giác ANM, ta biết MA = MN (theo điều kiện đã cho).

Do đó, ta có: AM = MB = BC.

Vậy, ta đã chứng minh AM = BC.

c) Ta cũng đã chứng minh trong phần (b) rằng AM = BC. Đồng thời, AM = MB nên ta cũng đã chứng minh được AM = 1/2 BC.

Nhận xét: Từ điều kiện đã cho là AM là trung tuyến của tam giác ABC và MA = MN, ta đã suy ra được AM = MB = BC/2. Điều này là một tính chất quan trọng của trung tuyến trong tam giác vuông.

a) Để chứng minh rằng tam giác AMB và tam giác NMC là tam giác đồng dạng, chúng ta cần chứng minh rằng các góc của hai tam giác này là bằng nhau.

Trong tam giác AMB và tam giác NMC:
- Vì MA = MN (theo điều kiện đã cho), nên góc AMB = góc CNM (do góc ở trung tuyến bằng góc ở đỉnh trong tam giác).
- Góc BAM = góc CNM (do AMB và NMC là tam giác cân tại M và góc ở đỉnh trong tam giác cân bằng nhau).

Vậy, theo góc-góc-góc, ta kết luận được tam giác AMB và tam giác NMC là đồng dạng.

b) Để chứng minh rằng AM = BC, ta sẽ sử dụng tính chất của trung tuyến và đồng dạng tam giác.

Trong tam giác ABC, ta biết M là trung điểm của BC (do AM là trung tuyến), vì vậy AM = MB.

Trong tam giác ANM, ta biết MA = MN (theo điều kiện đã cho).

Do đó, ta có: AM = MB = BC.

Vậy, ta đã chứng minh AM = BC.

c) Ta cũng đã chứng minh trong phần (b) rằng AM = BC. Đồng thời, AM = MB nên ta cũng đã chứng minh được AM = 1/2 BC.

Nhận xét: Từ điều kiện đã cho là AM là trung tuyến của tam giác ABC và MA = MN, ta đã suy ra được AM = MB = BC/2. Điều này là một tính chất quan trọng của trung tuyến trong tam giác vuông.