Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Đưa phân số \( \frac{1}{11} \) và \( \frac{3}{22} \) về cùng mẫu số để dễ tính toán.
2. Thực hiện phép tính chia phân số \( \frac{3}{2} \) cho tổng của hai phân số đã đưa về cùng mẫu số.

Bây giờ ta sẽ thực hiện từng bước:

1. Đưa \( \frac{1}{11} \) và \( \frac{3}{22} \) về cùng mẫu số:
- Ta nhận thấy \( \frac{1}{11} \) đã có mẫu số là 11, nhưng \( \frac{3}{22} \) cần chuyển về mẫu số 22. Do đó, ta nhân cả tử và mẫu của \( \frac{3}{22} \) với 2 để đạt được mẫu số 22:
\[ \frac{1}{11} + \frac{3}{22} = \frac{2}{22} + \frac{3}{22} = \frac{2 + 3}{22} = \frac{5}{22} \]

2. Thực hiện phép tính chia \( \frac{3}{2} \) cho tổng của hai phân số đã đưa về cùng mẫu số:
\[ \frac{3}{2} : \frac{5}{22} = \frac{3}{2} \times \frac{22}{5} = \frac{3 \times 22}{2 \times 5} = \frac{66}{10} \]

Kết quả cuối cùng là \( \frac{66}{10} \). Để đơn giản hóa, ta có thể rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử và mẫu cho 2:
\[ \frac{66}{10} = \frac{33}{5} \]

Vậy kết quả là \( \frac{33}{5} \).