Để tìm một phân số vừa lớn hơn \( \frac{5}{8} \) và vừa bé hơn \( \frac{6}{7} \), chúng ta cần tìm một phân số nằm giữa hai phân số này.

Đầu tiên, ta có thể chuyển hai phân số về cùng mẫu số để dễ dàng so sánh:
\[ \frac{5}{8} = \frac{5 \times 7}{8 \times 7} = \frac{35}{56} \]
\[ \frac{6}{7} = \frac{6 \times 8}{7 \times 8} = \frac{48}{56} \]

Bây giờ, chúng ta có:
\[ \frac{35}{56} < \text{phân số cần tìm} < \frac{48}{56} \]

Để tìm phân số nằm giữa hai phân số này, chúng ta có thể lấy trung bình của chúng:
\[ \frac{35 + 48}{2} = \frac{83}{2} \]

Vì vậy, một phân số nằm giữa \( \frac{5}{8} \) và \( \frac{6}{7} \) là \( \frac{83}{112} \), vừa lớn hơn \( \frac{5}{8} \) và vừa bé hơn \( \frac{6}{7} \).