Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

b) Xét điểm $A (x_{0}; e^{x_{0}})$ nằm trên đồ thị hàm số y = e^x.

Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm $A (x_{0}; e^{x_{0}})$ và vuông góc với đường thẳng y = x có dạng : $y = - x + x_{0} + e^{x_{0}}$ .

b) Chứng minh rằng hai đồ thị trên đối xứng nhau qua đường thẳng y = x, tức là nếu điểm M nằm trên một đồ thị thì điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng y = x sẽ nằm trên đồ thị còn lại. (ảnh 1)

Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng y = x.

Khi đó $B (\frac{x_{0} + e^{x_{0}}}{2}; \frac{x_{0} + e^{x_{0}}}{2})$ .

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng y = x. Khi đó B là trung điểm của AA’.

Do đó $\{\begin{cases} x_{A^{'}} = 2 x_{B} - x_{A} \\ y_{A^{'}} = 2 y_{B} - y_{A} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{_{A^{'}}} = 2 \cdot \frac{x_{0} + e^{x_{0}}}{2} - x_{0} \\ y_{_{A^{'}}} = 2 \cdot \frac{x_{0} + e^{x_{0}}}{2} - e^{x_{0}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{A^{'}} = e^{x_{0}} \\ y_{A^{'}} = x_{0} \end{cases}$ . Vậy $A^{'} (e^{x_{0}}; x_{0})$ .

Thay tọa độ điểm $A^{'} (e^{x_{0}}; x_{0})$ vào hàm số y = ln x, ta được $x_{0} = \ln e^{x_{0}}$ (luôn đúng),

Vậy $A^{'} (e^{x_{0}}; x_{0})$ thuộc đồ thị hàm số y = ln x.

Tương tự, nếu B(x₀; ln x₀) nằm trên đồ thị hàm số y = ln x thì ta cũng tìm được điểm B’ đối xứng với B qua đường thẳng y = x và điểm B’ thuộc đồ thị hàm số y = e^x.

Vậy hai đồ thị đã cho đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

...Xem thêm

Answer 2