Để chứng minh \(\frac{a^3+b^3-c^3}{b^3+c^3-d^3} = \left(\frac{a+b-c}{b+c-d}\right)^3\), chúng ta sẽ bắt đầu từ các điều kiện đã cho và thực hiện các bước biến đổi.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \(b^2 = ac\) và \(c^2 = bd\), từ đó suy ra:
\[a = \frac{b^2}{c}\]
\[d = \frac{c^2}{b}\]

Giờ ta sẽ thay các giá trị \(a\) và \(d\) vào phân số ban đầu:
\[\frac{a^3+b^3-c^3}{b^3+c^3-d^3} = \frac{\left(\frac{b^2}{c}\right)^3 + b^3 - c^3}{b^3 + c^3 - \left(\frac{c^2}{b}\right)^3}\]

Tiếp theo, ta sẽ thực hiện các phép tính để đơn giản hóa phân số trên:
\[\frac{\left(\frac{b^6}{c^3}\right) + b^3 - c^3}{b^3 + c^3 - \left(\frac{c^6}{b^3}\right)}\]
\[= \frac{b^6 + b^6c^3 - c^6}{b^6c^3 + c^6 - c^6}\]
\[= \frac{b^6(1+c^3) - c^6}{b^6c^3}\]

Bây giờ ta sẽ làm tương tự với biểu thức bình phương nằm trong ngoặc vuông bên phải:
\[\left(\frac{a+b-c}{b+c-d}\right)^3 = \left(\frac{\frac{b^2}{c}+b-c}{b+c-\frac{c^2}{b}}\right)^3\]
\[= \left(\frac{\frac{b^3+bc^2-c^3}{c}}{\frac{b^2+c^3-c^3}{b}}\right)^3\]
\[= \left(\frac{b^3+bc^2-c^3}{b^2}\right)^3\]
\[= \left(\frac{b^6+b^4c^2-b^3c^3}{b^6}\right)^3\]
\[= \left(1+\frac{b^4c^2-b^3c^3}{b^6}\right)^3\]

Ta thấy hai biểu thức trong dấu \(^3\) giống nhau, chỉ khác 1, vậy ta có thể kết luận rằng:
\[\frac{a^3+b^3-c^3}{b^3+c^3-d^3} = \left(\frac{a+b-c}{b+c-d}\right)^3\]