Để chứng minh các phát biểu này, chúng ta sẽ sử dụng một số định lí và quy tắc hình học.

### 1. Chứng minh tam giác DEC vuông:
- Vì CE là tiếp tuyến với đường tròn tại E, nên góc \( CED \) là góc phụ của góc nghiêng giữa tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp điểm.
- Vì góc nghiêng giữa tiếp tuyến và bán kính là góc vuông, nên góc \( CED \) cũng là góc vuông.
- Do đó, tam giác DEC là tam giác vuông tại D.

### 2. Chứng minh tứ giác AEHC nội tiếp:
- Vì BE là tiếp tuyến với đường tròn tại E, nên góc \( AEB \) là góc phụ của góc nghiêng giữa tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp điểm.
- Từ đó, \( \angle AEB \) là góc vuông, vì góc nghiêng giữa tiếp tuyến và bán kính là góc vuông.
- Do \( \angle AEB \) là góc vuông, nên tứ giác AEHB là một tứ giác nội tiếp.

### 3. Chứng minh F là trung điểm của AH:
- Để chứng minh F là trung điểm của AH, chúng ta cần chứng minh \( AF = FH \).
- Vì AE và HC là cặp cạnh của tứ giác nội tiếp AEHC, nên theo định lí về tứ giác nội tiếp, chúng có tổng của các góc đối diện bằng 180 độ.
- Vì \( \angle AEC \) và \( \angle EHC \) là góc đối diện của cặp cạnh AE và HC, nên chúng có tổng bằng 180 độ.
- Vì vậy, \( \angle AEC = \angle EHC \).
- Từ đó, tam giác AEH đồng dạng với tam giác CHE theo góc chung.
- Do đó, \( \frac{AF}{CE} = \frac{FH}{HE} \).
- Nhưng CE là đường kính nên \( CE = 2HE \).
- Vì vậy, \( \frac{AF}{2HE} = \frac{FH}{HE} \), suy ra \( AF = 2FH \).
- Điều này chứng tỏ rằng F là trung điểm của AH.

Vậy, ta đã chứng minh được các phát biểu.

Để chứng minh tam giác DEC vuông, ta sử dụng tính chất của các tam giác nội tiếp và tam giác vuông:

Vì tam giác DEC là tam giác nội tiếp trong đường tròn (O), nên ta có:
\[
\angle DCE = \angle DIE \quad \text{(cùng nằm trên cùng cạnh)}
\]

Và vì tam giác OIE là tam giác vuông tại I (do I là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn), nên ta có:
\[
\angle DIE = 90^\circ
\]

Kết hợp hai điều trên, ta có:
\[
\angle DCE = 90^\circ
\]

Vậy tam giác DEC là tam giác vuông.

Để chứng minh tứ giác AEHC nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tứ giác này có tứ giác nội tiếp. Ta sẽ sử dụng tính chất của các góc đối nội tiếp và góc nội tiếp:

Ta có:
\[
\angle AEC = \angle ADC \quad \text{(cùng nằm trên cùng dây)}
\]
\[
\angle AHC = \angle AOC \quad \text{(cùng nằm trên cùng dây)}
\]

Và vì AE và HC là hai tiếp tuyến với đường tròn (O), nên ta có:
\[
\angle ADC = \angle AOC = 90^\circ
\]

Kết hợp ba điều trên, ta thấy:
\[
\angle AEC = \angle AHC = 90^\circ
\]

Vậy tứ giác AEHC là tứ giác nội tiếp.

Để chứng minh F là trung điểm của AH, ta sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng:

Vì AE và HC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo định lí tiếp tuyến và góc nội tiếp, ta có:
\[
\angle AEC = \angle AHC
\]

Và vì tứ giác AEHC nội tiếp, nên ta cũng có:
\[
\angle AEC = \angle AHC
\]

Vậy ta thấy hai tam giác AEF và AHC đồng dạng (có cặp góc bằng nhau).

Do đó, tỷ lệ giữa các cạnh của chúng là như nhau, nghĩa là:
\[
\frac{AF}{AH} = \frac{AE}{AC}
\]

Nhưng vì AE = AC (đường kính của đường tròn (O)), nên ta có:
\[
\frac{AF}{AH} = \frac{1}{2}
\]

Vậy F là trung điểm của AH.