Đặt số lượng bánh quy cô Linh có là \( x \).

Theo đề bài:
1. Nếu mỗi đứa trẻ nhận 5 cái bánh quy sẽ dư 1 cái, nghĩa là \( x \) chia hết cho 5 và còn dư 1: \( x \equiv 1 \pmod{5} \).
2. Nếu mỗi đứa trẻ nhận 6 cái bánh quy, cô Linh sẽ thiếu 5 cái, nghĩa là \( x - 5 \) chia hết cho 6: \( x - 5 \equiv 0 \pmod{6} \).

Từ điều kiện đầu tiên, ta có thể viết \( x \) dưới dạng \( 5k + 1 \), với \( k \) là một số nguyên không âm.

Thay \( x \) bằng \( 5k + 1 \) vào điều kiện thứ hai:
\[ (5k + 1) - 5 \equiv 0 \pmod{6} \]
\[ 5k - 4 \equiv 0 \pmod{6} \]

\( 5k - 4 \) chia hết cho 6, có nghĩa là \( k \) sao cho \( 5k - 4 \) là một bội số của 6.
Ta thử các giá trị \( k \) cho đến khi tìm được \( k \) thỏa mãn điều kiện trên và \( x \) nhỏ hơn 45.

1. Khi \( k = 1 \): \( 5(1) - 4 = 1 \) không chia hết cho 6.
2. Khi \( k = 2 \): \( 5(2) - 4 = 6 \) chia hết cho 6.

Vậy, \( x = 5(2) + 1 = 11 \).

Vậy, cô Linh có tổng cộng \( 11 \) cái bánh quy.