Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên tia đối của AB lấy điểm D sao cho AD=AB . Gọi K là trung điểm của cạnh BC , đường thẳng DK cắt AC tại M . a, Chứng minh tam giác ABC = tam giác ADC và tam giác BDC cân tại C , b, chứng minh MC=2MA , c,Đường trung trực d của đoạn AC cắt DC tại Q . Chứng minh ba đường thẳng AC,BQ và DK đồng quy
Quảng cáo
1 câu trả lời 74
a. Chứng minh tam giác ABC = tam giác ADC và tam giác BDC cân tại C:
Vì \(AD = AB\), ta có góc \(ADB = \angle ABD\), và từ đó tam giác \(ADB\) là tam giác cân tại \(D\).
Vì \(K\) là trung điểm của \(BC\), nên \(BK = KC\). Từ đó, ta có góc \(KDC = \angle KCD\), và tam giác \(KDC\) cũng là tam giác cân tại \(C\).
Vậy, ta đã chứng minh được tam giác \(ADC\) và \(BDC\) đều là tam giác cân tại \(C\).
b. Chứng minh \(MC = 2MA\):
Vì \(K\) là trung điểm của \(BC\), nên \(MK\) là đoạn phân giác của góc \(BMC\). Vì tam giác \(BDC\) là tam giác cân tại \(C\), nên góc \(BDC\) bằng góc \(BCD\). Do đó, góc \(MCK\) bằng góc \(MBC\).
Tương tự, vì tam giác \(ADC\) cũng là tam giác cân tại \(C\), nên góc \(MCA\) bằng góc \(MAC\).
Như vậy, ta có hai tam giác \(MKC\) và \(MAB\) đồng dạng theo góc. Do đó:
\[\frac{MC}{MA} = \frac{KC}{AB} = \frac{1}{2}\]
\(MC = 2MA\).
c. Để chứng minh ba đường thẳng \(AC\), \(BQ\) và \(DK\) đồng quy, ta cần chứng minh rằng điểm \(M\) nằm trên đường trung trực của đoạn \(BQ\).
Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\). Vì \(AD = AB\), nên \(AE\) song song với \(BC\), từ đó ta có \(DE\) song song với \(BK\). Do \(K\) là trung điểm của \(BC\), nên \(DE\) cũng là đoạn phân giác của góc \(ADB\), từ đó \(DE\) cắt \(AM\) tại trung điểm \(F\) của \(AM\).
Khi đó, ta thấy rằng \(F\) chính là trung điểm của \(AM\), từ đó đường trung trực của \(AC\) cắt \(DC\) tại \(Q\) (điểm \(Q\) là trung điểm của \(DC\)).
Vậy, ba đường thẳng \(AC\), \(BQ\) và \(DK\) đồng quy.
Quảng cáo