## Giải bài toán:

**Cho tam giác ABC (AB > AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC; E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến các đường thẳng AB, AC.**

**1) Chứng minh tứ giác AEMF là tứ giác nội tiếp.**

**Chứng minh:**

* **$\widehat{AME} = \widehat{BME}$ (góc nội tiếp chắn cung $\widehat{BM}$).**
* **$\widehat{AFE} = \widehat{CFE}$ (góc nội tiếp chắn cung $\widehat{CM}$).**

* Xét tứ giác AEMF:
* $\widehat{AME} + \widehat{AFE} = 180°$ (hai góc đối diện cộng nhau).
* $\widehat{BME} + \widehat{CFE} = 180°$ (hai góc đối diện cộng nhau).

* Do đó: $\widehat{AME} + \widehat{AFE} = \widehat{BME} + \widehat{CFE}$.

* Mà $\widehat{AME} = \widehat{BME}$ và $\widehat{AFE} = \widehat{CFE}$ (chứng minh trên).
* ⇒ Tứ giác AEMF nội tiếp (định lý tứ giác nội tiếp).

**2) Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh KBC = MEF và BC.ME = EF.BK.**

**Chứng minh:**

* **K là điểm thứ hai trên (O) mà AM cắt đường tròn nên $\widehat{BAK} = \widehat{MAK}$.**
* **Xét tam giác ABK và tam giác AMK:**
* AB = AK (hai dây cung cắt nhau tại K).
* $\widehat{BAK} = \widehat{MAK}$ (chứng minh trên).
* $\widehat{ABK} = \widehat{AMK}$ (hai góc nội tiếp chắn cung $\widehat{BM}$).
* ⇒ ΔABK ~ ΔAMK (g.c.g).
* ⇒ $\frac{AB}{AM} = \frac{AK}{MK}$.

* Xét tam giác ABM và tam giác AMK:**
* AM chung.
* $\widehat{ABM} = \widehat{AMK}$ (hai góc so le trong vì AB // MK).
* $\widehat{BAM} = \widehat{MAK}$ (hai góc đối đỉnh).
* ⇒ ΔABM ~ ΔAMK (g.c.g).
* ⇒ $\frac{BM}{MK} = \frac{AB}{AK}$.

* Suy ra: $\frac{AB}{AM} = \frac{BM}{MK} ⇔ AB \cdot MK = BM \cdot AM.$

* Xét tam giác ABC và tam giác AMK:**
* $\widehat{ABC} = \widehat{AMK}$ (hai góc nội tiếp chắn cung $\widehat{BM}$).
* $\widehat{BAC} = \widehat{MAK}$ (hai góc nội tiếp chắn cung $\widehat{CM}$).
* ⇒ ΔABC ~ ΔAMK (g.c.g).
* ⇒ $\frac{BC}{AM} = \frac{AB}{AK}$.

* Thay vào ta có: $\frac{BC}{AM} = \frac{BM}{MK} ⇔ BC \cdot MK = BM \cdot AM.$

* Do đó: $AB \cdot MK = BC \cdot MK ⇔ AB = BC.$

* Ta có: ΔBCE và ΔBKM có:
* BC chung.
* $\widehat{BCE} = \widehat{BKM}$ (hai góc nội tiếp chắn cung $\widehat{BM}$).
* $\widehat{BEC} = \widehat{BKM}$ (hai góc đối đỉnh).
* ⇒ ΔBCE ~ ΔBKM (g.c.g).
* ⇒ $\frac{BC}{BK} = \frac{CE}{KM}$.

* Thay $AB = BC$ vào ta có: $\frac{AB}{BK} = \frac{CE}{KM} ⇔ AB \cdot KM = CE \cdot BK.$

* Ta có: $AB \cdot MK = BC \cdot MK$ (chứng minh trên).
* ⇒ $CE \cdot BK = BC \cdot MK ⇔ CE \cdot BK = EF \cdot BK.$

* Xét tam giác AEF và tam giác BCE:
* EF chung.
* $\widehat{AEF} = \widehat{BEC}$ (hai góc nội tiếp chắn cung $\widehat{CM}$).
* $\widehat{EFA}