Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số tính chất cơ bản của tam giác vuông và các tia phân giác. Hãy xem xét từng phần của bài toán:

**Phần a: Chứng minh BE là đường trung trực của AK**

Để chứng minh BE là đường trung trực của AK, ta cần chứng minh rằng BE vuông góc với AK và đi qua trung điểm của AK.

- Ta biết AK là đường cao của tam giác ABC, vì nó vuông góc với BC tại K.
- Ta cũng biết BF là tia phân giác của góc B, vì vậy BH là đường phân giác của tam giác ABC.
- Do đó, theo tính chất của đường phân giác, ta có $\angle ABH = \angle CBH$.
- Từ đó, ta thấy $\angle ABH = \angle CBH = \angle EBC$, nghĩa là tam giác BCE cân tại B.
- Vậy, BE là đường trung trực của AC.

**Phần b: So sánh AF và CF**

Vì BF là tia phân giác của góc B, nên ta có:

$\frac{{AF}}{{FB}} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{AB}}$

$\frac{{CF}}{{FB}} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{AB}}$

Như vậy, $AF = CF$, tức là độ dài của AF và CF bằng nhau.

**Phần c: Chứng minh AB giao CH tại D và D, F, K thẳng hàng**

Để chứng minh AB giao CH tại D, ta cần chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa.

- Do BE là đường trung trực của AK, ta có $BE \perp AK$.
- Do đó, $\angle EBC = \angle BAC$ và $\angle ECB = \angle CAB$.
- Như vậy, $\angle CBE = \angle ABC$ và $\angle ECB = \angle CAB$.
- Từ hai điều này và vì $\angle ABC = \angle ACB$, ta có $\triangle ABC \sim \triangle ECB$.
- Do đó, $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{CB}}{{CE}}$, tức là tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa.

Vì AB giao CH tại D, nên D là trung điểm của CH.

Để chứng minh D, F, K thẳng hàng, ta thấy $\angle FDK = 90^\circ$ (vì FK vuông góc với BC tại K), cùng với $\angle BDC = 90^\circ$ (vì AD là đường cao của tam giác ABC). Vì vậy, D, F, K thẳng hàng.