cho tam giác ABC cân tại A . trên cạnh BC lần lượt lấy điểm M,N sao cho BM=CN ( M nằm giữa B và N ) . đường thẳng qua M vuông góc với AB cắt đường thẳng qua N vuông góc với AC tại I . chứng minh AI vuông góc với BC
Quảng cáo
2 câu trả lời 525
Gọi O là trung điểm của BC. Khi đó, ta có BM = CN, OM = ON (do O là trung điểm BC), và BO = CO (do tam giác ABC cân tại A).
Chứng minh A, I, O thẳng hàng:
- Ta có MO ⊥ AB và NO ⊥ AC.
- Vì BM = CN, nên ta có MO = NO (do O là trung điểm BC).
- Vậy tam giác MON là tam giác cân tại M, từ đó MO = MN.
Kết hợp các quan sát trên, ta thấy tam giác AMO và ANO là tam giác đều. Do đó, AM = AO và AN = AO.
Suy ra, tam giác AIO là tam giác vuông cân, và AI là đoạn phân giác của góc A nên AI vuông góc với BC.
Ta cần chứng minh rằng AI vuông góc với BC.
Gọi H là hình chiếu từ A xuống BC. Ta cần chứng minh AH vuông góc với BC.
Vì tam giác ABC cân tại A nên ta có AH là đường cao của tam giác ABC và cũng là trung tuyến của tam giác BMN.
Ta có:
- Tam giác BMN cân tại M với BM = CN.
- AH là trung tuyến của tam giác BMN.
Do đó, ta có AH song song với MN và bằng một nửa MN.
Gọi K là giao điểm của đường thẳng qua M vuông góc với AB và đường thẳng qua N vuông góc với AC.
Ta cần chứng minh K trùng với H.
Vì AH song song với MN và bằng một nửa MN, ta có AH cũng song song với MK và bằng một nửa MK.
Vậy ta có \(AH = \frac{1}{2} MK\).
Tương tự, ta có AH cũng song song với NK và bằng một nửa NK.
Vậy ta có \(AH = \frac{1}{2} NK\).
Do đó, ta có \(MK = NK\), tức K trùng với H.
Vậy ta chứng minh được rằng AI vuông góc với BC.
Quảng cáo
Bạn muốn hỏi bài tập?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
12233
-
5721
-
4825
-
우옌🖤 해영 ✨
1810 điểm
-
Sori
1745 điểm
-
사랑해요😘
1190 điểm
-
Dương Nguyễn
1140 điểm
-
`color{blue}text{HuyTùng☢`
925 điểm
-
그림 그리기를 좋아하지만, 직업이 허락하지 않아요😞
875 điểm
-
하루토 [팜 안 둥]
850 điểm
-
돈이없다 💸😭
845 điểm
-
`d.`
805 điểm
-
౨ৎ𝘉ắ𝘱ت𝘭𝘶ộ𝘤تđê⋅˚₊‧ ଳ⋆.࿔*:･🌽
785 điểm
-
🌷김은✨
630 điểm
-
Bích Hồng 625 điểm
-
누가 고철을 팔고 싶어할까요🗑️🗑️
585 điểm
-
jamJames 🥵👍
555 điểm
-
''e thik biker hơn a''
480 điểm
Rút gọn
Bài viết mới nhất Lớp 7
-
2 năm trước4934
