Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

• Phép biến hình f biến 1 điểm thuộc d thành chính nó, do đó khoảng cách giữa hai điểm bất kì thuộc d qua phép biến hình f được bảo toàn (1)

• Lấy hai điểm M, N bất kì không thuộc d.

Ta có M’ = f(M) và N’ = f(N).

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MM’ và NN’.

Suy ra $\vec{M H} + \vec{M^{'} H} = \vec{0}; \vec{K N} + \vec{K N^{'}} = \vec{0}$ .

Ta có:

⦁ $\vec{M N} + \vec{M^{'} N^{'}} = (\vec{M H} + \vec{H K} + \vec{K N}) + (\vec{M^{'} H} + \vec{H K} + \vec{K N^{'}})$

$= (\vec{M H} + \vec{M^{'} H}) + (\vec{K N} + \vec{K N^{'}}) + 2 \vec{H K}$

$= \vec{0} + \vec{0} + 2 \vec{H K}$ (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)

$= 2 \vec{H K}$ .

⦁ $\vec{M N} - \vec{M^{'} N^{'}} = (\vec{H N} - \vec{H M}) - (\vec{H N^{'}} - \vec{H M^{'}})$ .

$= \vec{H N} - \vec{H M} - \vec{H N^{'}} + \vec{H M^{'}}$

$= (\vec{H N} - \vec{H N^{'}}) + (\vec{H M^{'}} - \vec{H M}) = \vec{N^{'} N} + \vec{M M^{'}}$ .

Khi đó ${\vec{M N}}^{2} - {\vec{M^{'} N^{'}}}^{2} = (\vec{M N} + \vec{M^{'} N^{'}}) (\vec{M N} - \vec{M^{'} N^{'}})$

$= 2 \vec{H K} (\vec{N^{'} N} + \vec{M M^{'}})$

$= 2 \vec{H K} . \vec{N^{'} N} + 2 \vec{H K} . \vec{M M^{'}} = 2.0 + 2.0 = 0$

(do d là đường trung trực của MM’, NN’ nên $\vec{M M^{'}} ⊥ \vec{H K}; \vec{N N^{'}} ⊥ \vec{H K}$ ).

Suy ra ${\vec{M N}}^{2} = {\vec{M^{'} N^{'}}}^{2}$ .

Do đó MN = M’N’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Vậy f là một phép dời hình.

...Xem thêm

Answer 2