Lời giải:

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x ⟶ 0 nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số đối với cả hai câu a và b.

a) Ta có: \(\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 4}}{x} = \frac{{\left[ {\left( {x + 2} \right) - 2} \right].\left[ {\left( {x + 2} \right) + 2} \right]}}{x}\)\( = \frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{x} = x + 4\) với x ≠ 0.

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 4}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x + 4} \right) = 0 + 4 = 4\).

b) Ta có: \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 9} - 3}}{{{x^2}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 9} } \right)}^2} - {3^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 9} + 3} \right)}}\)\( = \frac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 9} + 3} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 9} + 3}}\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} - 3}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 9} + 3}} = \frac{1}{6}\).