Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AM và AN...

Question

Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn( M ,N là các tiếp điểm )

a)Chứng minh 4 điểm A ,M, N ,Ocùng nằm trên một đường tròn

b) Gọi I là giao điểm của MN và OA. Từ điểm N kẻ đường thẳng song song với OM cắt đt OA tại H.c/m tứ giác OMHN là hình thoi.

c)Đt AO cắt đtròn(O) tại 2 điểm B và C (Điểm B nằm giữa hai điểm A và C) c/m AB.AC=AI.AO

VietJack · Accepted Answer

a) Chứng minh 4 điểm A, M, N, O cùng nằm trên một đường tròn:
- Ta có AM và AN là hai tiếp tuyến từ điểm bên ngoài đường tròn (O; R). Điều này ám chỉ rằng MAO và NAO là tam giác vuông tại M và N (do góc vuông nằm trên đường tròn).
- Do đó, MAO và NAO đều có góc tại O, vì vậy góc MAO = góc NAO. Từ đó, AM cũng cắt MN tại góc bằng nhau. Điều này chứng minh rằng MNOA là tứ giác nội tiếp và do đó, nằm trên cùng một đường tròn.

b) Gọi I là giao điểm của MN và OA. Từ điểm N, kẻ đường thẳng song song với OM cắt đường tròn OA tại H. Cần chứng minh tứ giác OMHN là hình thoi.

Ta có:
- Vì MN là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc MON bằng góc MAN (góc ngoại tiếp trong cùng cung).
- Vì góc MNA = 90 độ (do tiếp tuyến từ điểm ngoài đường tròn đến đường tròn là góc vuông), nên góc MON cũng bằng 90 độ.
- OM song song với HN (do đã kẻ đường thẳng song song với OM từ N), từ đó ta có MN = OH (vì là tiếp tuyến từ điểm ngoài đường tròn).

Như vậy, OMHN là tứ giác có 2 cặp cạnh đối và góc đối bằng nhau, tức là tứ giác đó là hình thoi.

c) Để chứng minh AB.AC = AI.AO:
- Ta biết $AB$ và $AC$ là hai tiếp tuyến từ $A$ đến đường tròn $(O)$ . Vì vậy, $AB \cdot AC = AO^2 - R^2$ .
- Gọi $I$ là giao điểm của $MN$ và $OA$ , ta có: $AI \cdot AO = AI \cdot (AI + IO) = AI^2 + AI \cdot IO = AI^2 + NI \cdot IM$ .
- Theo định lí về tiếp tuyến và tiếp điểm, ta có $NI \cdot IM = OM^2 - R^2 = AO^2 - R^2$ (do $OM = AO$ ).
- Từ đó suy ra $AI \cdot AO = AI^2 + NI \cdot IM = AI^2 + AO^2 - R^2 = AO^2 + AI^2 - R^2 = AB \cdot AC$ .
- Do đó, ta có $AB \cdot AC = AI \cdot AO$ .

VietJack · Answer

a) Để chứng minh 4 điểm A, M, N, O cùng nằm trên một đường tròn, ta sử dụng tính chất của tiếp tuyến và tiếp điểm:
- Gọi I là giao điểm của OA và MN.
- Ta có: ∠OAM = 90° (do AM là tiếp tuyến của đường tròn tại M)
- Tương tự, ∠OAN = 90° (do AN là tiếp tuyến của đường tròn tại N)
- Vậy, ta có 4 điểm A, M, N, O cùng nằm trên cùng một đường tròn.

2 câu trả lời 1054

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9