Để chứng minh tỉ lệ diện tích như trên, ta sẽ sử dụng công thức diện tích của tam giác.

Trước hết, ta cần biết rằng trọng tâm của một tam giác chia tỉ lệ diện tích của tam giác thành các phân đoạn có tỉ lệ 1:3.

Gọi S là diện tích của tam giác. Khi đó, diện tích của tam giác có trọng tâm G là 1/3 diện tích tam giác ABC, diện tích tam giác có trọng tâm H là 1/3 diện tích tam giác BCD và diện tích tam giác có trọng tâm K là 1/3 diện tích tam giác A'BCD'.

\[S_{ABC} = 3S_G, \quad S_{BCD} = 3S_H, \quad S_{A'BCD'} = 3S_K\]

Khi đó, tỉ lệ diện tích của các tam giác là:

\[\frac{S_{GHK}}{S_{A'BCD'}} = \frac{S_G + S_H + S_K}{S_{A'BCD'}} = \frac{S_{ABC} + S_{BCD} + S_{A'BCD'}}{S_{A'BCD'}} = \frac{S_{ABC} + S_{BCD}}{S_{A'BCD'}} + \frac{S_{A'BCD'}}{S_{A'BCD'}} = \frac{S_{ABC} + S_{BCD}}{S_{A'BCD'}} + 1\]

Tuy nhiên, theo định lý Pappus, tỉ lệ diện tích giữa hai tam giác có một cạnh chung (ABCD và A'BCD') và có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng song song (ABCD và A'BCD') là tỉ lệ của tỉ số các đoạn thẳng cắt giao bởi hai đường thẳng này trên hai đường thẳng song song đó. Mà tỉ số của các đoạn thẳng cắt giao trên hai đường thẳng này là 1, nên:

\[\frac{S_{ABC} + S_{BCD}}{S_{A'BCD'}} = 1\]

Do đó, \(\frac{S_{GHK}}{S_{A'BCD'}} = 1 + 1 = 2\)

Vậy ta đã chứng minh được rằng tỉ lệ diện tích giữa tam giác GHK và tam giác A'BCD' là 2.