Để tính độ dài của vector \(\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\), ta cần biết các vector \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) trong tam giác đều ABC.

Trong tam giác đều ABC, vector \(\overrightarrow{AB}\) có cùng độ dài và hướng với vector \(\overrightarrow{AC}\) do tam giác đều. Đồng thời, vector \(\overrightarrow{AM}\) là vector trung bình cộng của \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) do M là trung điểm BC.

Ta có:

\(\overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}\)

Từ đây, ta có thể suy ra:

\(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AC}\)

Bây giờ, để tính \(\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\), thay thế \(\overrightarrow{AB}\) bằng biểu diễn của nó dựa trên vector \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{AC}\):

\(\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} = (2\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AC}) + 3\overrightarrow{AC}\)

\(= 2\overrightarrow{AM} + 2\overrightarrow{AC}\)

Vì \(AM\) là vector trung điểm của \(AB\) và \(AC\), nên vector này cũng có cùng độ dài và hướng với \(AC\).

Do đó, độ dài của \(\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\) sẽ bằng \(2\) lần độ dài của vector \(\overrightarrow{AC}\).

Nếu ta biết độ dài của \(\overrightarrow{AC}\) hoặc các thông tin khác về tam giác đều ABC, ta có thể tính độ dài cụ thể của vector này.