Để hàm số \(f(x) = x^2 + (m - 1)x + m - 2 \leq 0\) với mọi \(x \in (a; b)\) và \(b - a > 3\), ta cần xác định giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình này có thể đúng trong điều kiện cho trước.

Trước hết, xác định nghiệm của \(f(x) = 0\) để tìm đến khoảng giá trị của \(x\) khi \(f(x)\) chuyển dấu hoặc thay đổi.

Bắt đầu từ \(f(x) = x^2 + (m - 1)x + m - 2 \leq 0\):

\[x^2 + (m - 1)x + m - 2 = 0\]

Đây là phương trình bậc hai. Để hàm số này có nghiệm, delta (\(\Delta\)) phải không lớn hơn 0:

\[\Delta = (m - 1)^2 - 4(m - 2) \geq 0\]

Giải phương trình \(\Delta \geq 0\) để tìm ra các giá trị của \(m\):

\[(m - 1)^2 - 4(m - 2) \geq 0\]

Simplify và giải:

\[m^2 - 2m + 1 - 4m + 8 \geq 0\]

\[m^2 - 6m + 9 \geq 0\]

\[(m - 3)^2 \geq 0\]

Điều này luôn đúng với mọi giá trị của \(m\). Vậy không có ràng buộc nào từ điều kiện về delta.

Tiếp theo, ta cần xem xét điều kiện về \(b - a > 3\) và xác định vùng xác định cho hàm số. Ta biết \(f(x)\) là một hàm bậc hai, và nó sẽ đạt giá trị cực tiểu ở điểm \(x = -\frac{b}{2a}\).

Vì \(f(x)\) là một đa thức bậc hai dương (\(x^2\)), để nó nhỏ hơn hoặc bằng 0, đồ thị của nó sẽ nằm dưới trục hoành. Vì vậy, chúng ta cần tìm nghiệm của \(f(x) = 0\) và xác định điểm cực tiểu của nó.

Tuy nhiên, điều kiện \(b - a > 3\) không cho phép ta xác định cụ thể các giá trị của \(x\) trong khoảng \((a; b)\) mà phù hợp với điều kiện cho trước.

Vì vậy, sau khi phân tích, ta nhận thấy rằng không có giới hạn cụ thể nào về \(m\) để bất phương trình \(f(x) = x^2 + (m - 1)x + m - 2 \leq 0\) với mọi \(x \in (a; b)\) và \(b - a > 3\) hoặc \(b - a\) lớn hơn 3.