Để tìm ảnh của đường thẳng \(d: x - 2y + 4 = 0\) thông qua phép quay tâm O(0, 0) và góc quay -180 độ, chúng ta có thể sử dụng phép biến đổi hình học để tìm đường thẳng mới sau khi quay.

Để biểu diễn đường thẳng dưới dạng vector pháp tuyến, ta có:

\(d: x - 2y + 4 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 2\)

Vector pháp tuyến của đường thẳng là \(\mathbf{n} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}\).

Để quay vector này một góc \(-180^\circ\) quanh gốc O(0, 0), ta sử dụng ma trận quay 2D:

\(R = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}\),

với \(\theta = -180^\circ = -\pi\) (đơn vị đo trong radian).

\(R = \begin{bmatrix} \cos(-\pi) & -\sin(-\pi) \\ \sin(-\pi) & \cos(-\pi) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\).

Ứng với ma trận quay này, để tìm vector pháp tuyến mới, ta nhân ma trận quay với vector pháp tuyến ban đầu:

\(\mathbf{n'} = R \cdot \mathbf{n} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}\).

Đường thẳng mới có vector pháp tuyến là \(\mathbf{n'} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}\), và để tìm phương trình của đường thẳng này, ta sử dụng điểm trên đường thẳng cũ, ví dụ (0, 2):

\(Ax + By = -Ax_1 - By_1\)

\( -x + 2y = -0 + 2(2)\)

\( -x + 2y = 4\)

Vậy, phương trình của đường thẳng mới sau khi quay là: \(-x + 2y = 4\).