g) Để chứng minh rằng C là trung điểm của AT, ta sử dụng sự tương tự tam giác. Lưu ý rằng tam giác ABC và tam giác MDA là đồng dạng với nhau. Vì vậy:

\(AC/MD = AB/MA\)

\(AC/BD = AB/AM\) (vì \(MD = BD\) vì AD và BC là tiếp tuyến chung với đường tròn)

\(AC = (AB/AM) * BD\)

Nhưng chúng ta đã chứng minh \(AC + BD = CD\), vậy:

\((AB/AM) * BD + BD = CD\)

\(BD * (1 + AB/AM) = CD\)

\(BD * (AM + AB) / AM = CD\)

Và ta biết \(AM + AB\) là độ dài toàn bộ nửa đường tròn. Vì vậy:

\(BD * (2 * OB) / AM = CD\)

\(BD * (2 * BD) / AM = CD\) (vì OB là bán kính đường tròn)

\(2 * BD^2 / AM = CD\)

Nhưng \(2 * BD^2\) là một hằng số vì BD và CD là độ dài cố định. Vậy \(CD\) chỉ phụ thuộc vào \(AM\).

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng C là trung điểm của AT.

h) Để chứng minh rằng \(MJ\) vuông góc \(AB\), chúng ta có thể sử dụng sự đồng dạng của tam giác. Lưu ý rằng tam giác \(ABC\) và tam giác \(MDA\) là đồng dạng. Do đó:

\(\frac{MJ}{AJ} = \frac{MD}{AD}\)

Nhưng \(MD = BD\) và \(AD = CD\). Vậy:

\(\frac{MJ}{AJ} = \frac{BD}{CD}\)

Nhưng \(BD = CD - AC\) và chúng ta đã chứng minh \(AC\) là một nửa của \(CD\), vậy \(BD = \frac{CD}{2}\).

\(\frac{MJ}{AJ} = \frac{\frac{CD}{2}}{CD} = \frac{1}{2}\)

Điều này chứng minh rằng \(MJ\) là một nửa của \(AJ\), và do đó \(MJ\) vuông góc \(AB\).

i) Để tìm vị trí của M sao cho \(AC * BD\) đạt giá trị nhỏ nhất, chúng ta có thể sử dụng sự tương tự tam giác. Như đã chứng minh ở phần g, \(AC\) chỉ phụ thuộc vào \(AM\), trong khi \(BD\) không thay đổi. Vì vậy, để \(AC * BD\) đạt giá trị nhỏ nhất, chúng ta cần làm cho \(AM\) đạt giá trị lớn nhất.

Nhưng điều này xảy ra khi \(AM\) bằng độ dài toàn bộ nửa đường tròn, tức là khi \(M\) là điểm nằm ngay giữa nửa đường tròn \(O\).