cho tam giác ABCD vuông cân tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB và E là điểm đối xứng của H qua M.
a) Chứng minh AHBE là hình chữ nhật
b) Chứng minh ACHE là hình bình hành
c) Gọi N là trung điểm của AC . Chứng minh ba đường thẳng AH , CE , MN đồng quy
Quảng cáo
2 câu trả lời 208
a) Để chứng minh AHBE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng hai cặp đường thẳng đối diện của hình này có cùng độ dài và vuông góc với nhau.
1. Chứng minh AH∥BE:
Vì tam giác ABCD vuông cân, nên AH vuông góc với BC tại điểm A.
Vì AB∥DC (do tứ giác ABCD là hình bình hành), nên BE cũng vuông góc với DC tại điểm E.
Do đó, AH và BE là hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường DC, nên AH∥BE.
2. Chứng minh AH=BE:
Ta biết M là trung điểm của AB, vì vậy AM=MB.
Vì E là điểm đối xứng của H qua M, nên ME=MH.
Nhưng AH=AM+MH và BE=BM−ME, và do AM=MB và ME=MH, nên AH=BE.
Vì AH∥BE và AH=BE, nên ta đã chứng minh AHBE là hình chữ nhật.
b) Để chứng minh ACHE là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp đường thẳng đối diện của hình này là song song và có cùng độ dài.
1. Chứng minh AC∥HE:
Vì tam giác ABCD là hình bình hành, nên AB∥CD và AC là đường chéo của hình bình hành.
Điểm E là điểm đối xứng của H qua M, nên ME=MH.
Do đó, AC là đường chéo của hình bình hành ACHE.
Nhưng hình bình hành có các đường chéo chia nhau đều ở trung điểm, nên AC và HE cắt nhau tại trung điểm của nhau.
Do đó, AC∥HE.
2. Chứng minh AC=HE:
Ta biết N là trung điểm của AC, vì vậy AN=NC.
Vì E là điểm đối xứng của H qua M, nên ME=MH.
Nhưng AC=AN+NC và HE=HN+NE, và do AN=NC và ME=MH, nên AC=HE.
Vì AC∥HE và AC=HE, nên ta đã chứng minh ACHE là hình bình hành.
c) Để chứng minh ba đường thẳng AH, CE, và MN đồng quy, ta có thể sử dụng định lí Ceva trong tam giác ACE.
Định lí Ceva: Trong tam giác ABC, ba đường cao AD, BE, và CF cắt nhau tại một điểm P nếu và chỉ nếu
APPD⋅BDBF⋅CFCA=1.
Ứng dụng định lí Ceva trong tam giác ACE:
- AH là đường cao từ A, vậy AP=1 và PD=1 (vì P là trung điểm của AD).
- CE là đường cao từ C, vậy CF=1 và FA=1 (vì F là trung điểm của AC).
- MN là đường cao từ E, vậy EM=1 và MC=1 (vì M là trung điểm của EC).
Áp dụng vào định lí Ceva:
11⋅BDBF⋅11=1.
Simplifying: BDBF=1, hay BD=BF.
Vậy, ta đã chứng minh rằng ba đường thẳng AH, CE, và MN đồng quy.
a) Để chứng minh AHBE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng hai cặp đường thẳng đối diện của hình này có cùng độ dài và vuông góc với nhau.
1. Chứng minh AH∥BE��∥��:
Vì tam giác ABCD vuông cân, nên AH�� vuông góc với BC�� tại điểm A�.
Vì AB∥DC��∥�� (do tứ giác ABCD là hình bình hành), nên BE�� cũng vuông góc với DC�� tại điểm E�.
Do đó, AH�� và BE�� là hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường DC��, nên AH∥BE��∥��.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
15605
-
7448