a) Để chứng minh AHBE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng hai cặp đường thẳng đối diện của hình này có cùng độ dài và vuông góc với nhau.

1. Chứng minh \(AH \parallel BE\):
Vì tam giác ABCD vuông cân, nên \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại điểm \(A\).
Vì \(AB \parallel DC\) (do tứ giác ABCD là hình bình hành), nên \(BE\) cũng vuông góc với \(DC\) tại điểm \(E\).
Do đó, \(AH\) và \(BE\) là hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường \(DC\), nên \(AH \parallel BE\).

2. Chứng minh \(AH = BE\):
Ta biết \(M\) là trung điểm của \(AB\), vì vậy \(AM = MB\).
Vì \(E\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(M\), nên \(ME = MH\).
Nhưng \(AH = AM + MH\) và \(BE = BM - ME\), và do \(AM = MB\) và \(ME = MH\), nên \(AH = BE\).

Vì \(AH \parallel BE\) và \(AH = BE\), nên ta đã chứng minh \(AHBE\) là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh ACHE là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp đường thẳng đối diện của hình này là song song và có cùng độ dài.

1. Chứng minh \(AC \parallel HE\):
Vì tam giác ABCD là hình bình hành, nên \(AB \parallel CD\) và \(AC\) là đường chéo của hình bình hành.
Điểm \(E\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(M\), nên \(ME = MH\).
Do đó, \(AC\) là đường chéo của hình bình hành \(ACHE\).
Nhưng hình bình hành có các đường chéo chia nhau đều ở trung điểm, nên \(AC\) và \(HE\) cắt nhau tại trung điểm của nhau.
Do đó, \(AC \parallel HE\).

2. Chứng minh \(AC = HE\):
Ta biết \(N\) là trung điểm của \(AC\), vì vậy \(AN = NC\).
Vì \(E\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(M\), nên \(ME = MH\).
Nhưng \(AC = AN + NC\) và \(HE = HN + NE\), và do \(AN = NC\) và \(ME = MH\), nên \(AC = HE\).

Vì \(AC \parallel HE\) và \(AC = HE\), nên ta đã chứng minh \(ACHE\) là hình bình hành.

c) Để chứng minh ba đường thẳng \(AH\), \(CE\), và \(MN\) đồng quy, ta có thể sử dụng định lí Ceva trong tam giác \(ACE\).

Định lí Ceva: Trong tam giác \(ABC\), ba đường cao \(AD\), \(BE\), và \(CF\) cắt nhau tại một điểm \(P\) nếu và chỉ nếu
\[
\frac{AP}{PD} \cdot \frac{BD}{BF} \cdot \frac{CF}{CA} = 1.
\]

Ứng dụng định lí Ceva trong tam giác \(ACE\):

- \(AH\) là đường cao từ \(A\), vậy \(AP = 1\) và \(PD = 1\) (vì \(P\) là trung điểm của \(AD\)).
- \(CE\) là đường cao từ \(C\), vậy \(CF = 1\) và \(FA = 1\) (vì \(F\) là trung điểm của \(AC\)).
- \(MN\) là đường cao từ \(E\), vậy \(EM = 1\) và \(MC = 1\) (vì \(M\) là trung điểm của \(EC\)).

Áp dụng vào định lí Ceva:
\[
\frac{1}{1} \cdot \frac{BD}{BF} \cdot \frac{1}{1} = 1.
\]
Simplifying: \(\frac{BD}{BF} = 1\), hay \(BD = BF\).

Vậy, ta đã chứng minh rằng ba đường thẳng \(AH\), \(CE\), và \(MN\) đồng quy.