Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

) Chứng minh AD = BC:

Ta có tứ giác ABCD. Gọi E là giao điểm của AC và BD (E = AC ∩ BD). Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABC, ta có:

(AB/BC) * (CE/EA) * (AD/DB) = 1

Nhưng ta có AB = CD (hai đoạn vuông góc cùng trên đáy). Do đó:

(AB/BC) * (CE/EA) * (AD/DB) = (CD/BC) * (CE/EA) * (AD/DB) = 1

Từ đó suy ra: CE/EA = DB/AD

Áp dụng định lí Ta-lét cho tam giác ADE, ta có:

(AD/DB) * (BE/EC) * (CE/EA) = 1

Thay CE/EA = DB/AD vào phương trình trên, ta có:

(AD/DB) * (BE/EC) * (DB/AD) = (BE/EC) = 1

Vậy BE = EC.

Do đó, ta thấy AB = CD và BE = EC, suy ra AD = BC (cùng cặp tam giác đồng dạng).

b) Chứng minh AD // BC:

Do tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp, nên theo định lí cung tiến:

Góc ADC = Góc ABC

Nhưng AB = CD (hai đoạn vuông góc cùng trên đáy), nên góc ADC = Góc ABC = 90°.

Vậy AD // BC (hai cạnh đối của hai góc vuông).

c) Chứng minh M, O, N thẳng hàng:

Vì M là trung điểm của AB và N là trung điểm của CD, nên ta có:

AM = MB và CN = ND.

Do AD // BC (đã chứng minh ở bước b), nên theo định lí trung bình song song, ta có:

AN = MD và CM = NB.

Như vậy, ta có AN = ND và CM = MB.

Từ đó, áp dụng định lí cạnh chéo song song, ta có O là trung điểm của MN.

Vậy, ta chứng minh được M, O, N thẳng hàng.

...Xem thêm

Answer 2