Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Ta có:
- Vì AB đứng vuông góc với AM nên ABM là tam giác vuông tại A.
- Từ d song song với AB, ta có góc MNC bằng góc MAB (song song cắt).
- Góc MAB bằng góc BAC (tam giác ABC vuông tại A).
Vậy, ta có ABM ~ NMC (theo góc).

Giờ ta chứng minh AB/AM = NC/MC (theo cạnh):
- Ta có AB/AM = 2 (vì AM là đường trung bình trong tam giác vuông ABM)
- Ta cũng có MC = BC - BM, và do BM = MC nên BM = MC = BC/2
- Từ tỷ lệ phân đôi, ta được CM = 2AM
- Từ đó suy ra NC/MC = AN/CM = AM/CM = 1/2.

Vậy, theo hai góc và một cạnh, ta có ABM ~ NMC.

b) Ta đã có CM = 2AM (như ở câu a), và từ đó suy ra BM = MC = BC/2.
Từ đó, ta áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A, ta được:

AB^2 = AC^2 + BC^2
AB^2 = AC^2 + 4BM^2
AB^2 = AC^2 + 4(BC/2)^2
AB^2 = AC^2 + 2BC^2
AC^2 = AB^2 - 2BC^2

Ta cũng biết rằng AM^2 = BM^2 = BC^2/4.
Vậy, ta có:

BC^2 = 4AM^2
2BC^2 = 8AM^2 = 2AB^2 - 4AC^2 (từ hai công thức trên)

Từ đó suy ra BC^2 = 2AB^2 - 4AC^2.
Thay vào công thức trước đó, ta được:

2AB^2 - 4AC^2 = 4AM^2
AB^2 = 2AM^2 + 2AC^2

Do đó, ta có: BC^2 = 4AM^2 = 2AB^2 - 4AC^2 = 4AM^2 + 4AC^2 - 4AC^2 = 4(AM^2 + AC^2).
Từ đó suy ra BC = 2AM.

Vậy, ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.

...Xem thêm

Answer 2