Để chứng minh AB vuông góc B'C, ta cần chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng chứa B'C.

Ta có điều kiện để AB vuông góc với mặt phẳng chứa B'C là AB cùng vuông góc với hai vectơ B'C và B'D.

- Gọi vector $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{B'C}$ và vector $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{B'D}$. Khi đó, ta cần chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}$ vuông góc với cả $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.
- Ta có: $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{BD}$
- Đồng thời, ta có: $\overrightarrow{B'D} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{BA}$
- Kết hợp hai công thức trên, ta được: $\overrightarrow{B'C} + \overrightarrow{B'D} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{BA}$
- Như vậy, $\overrightarrow{B'C} + \overrightarrow{B'D} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BD}$
- Từ đó, ta có thể sử dụng định lí cosin để tính góc giữa $\overrightarrow{B'C}$ và $\overrightarrow{B'D}$:
$\cos{\angle{B'C,B'D}} = \frac{||\overrightarrow{B'C} + \overrightarrow{B'D}||^2 - ||\overrightarrow{B'C}||^2 - ||\overrightarrow{B'D}||^2}{2 ||\overrightarrow{B'C}|| \cdot ||\overrightarrow{B'D}||}$
$\cos{\angle{B'C,B'D}} = \frac{||\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BD}||^2 - ||\overrightarrow{BC}||^2 - ||\overrightarrow{BD}||^2}{2 ||\overrightarrow{BC}|| \cdot ||\overrightarrow{BD}||}$
$\cos{\angle{B'C,B'D}} = \frac{\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{BD}}{||\overrightarrow{BC}|| \cdot ||\overrightarrow{BD}||}$
- Tương tự, ta cũng tính được góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{B'C}$:
$\cos{\angle{AB,B'C}} = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{||\overrightarrow{AB}|| \cdot ||\overrightarrow{BC}||}$
- Như vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng $\cos{\angle{AB,B'C}} \cdot \cos{\angle{B'C,B'D}} = 0$ để kết luận AB vuông góc với B'C.
- Trong tam giác $\triangle BCD$, ta có hệ số góc xương số của đường thẳng AB bằng $m_{AB} = -\frac{1}{m_{BC}}$. Vì vậy, hai vector $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ vuông góc với nhau.
- Từ đó, suy ra $\cos{\angle{AB,B'C}} = 0$, và do đó $\cos{\angle{AB,B'C}} \cdot \cos{\angle{B'C,B'D}} = 0$, chứng tỏ AB vuông góc với mặt phẳng chứa B'C.
Do đó, ta có AB vuông góc với B'C như cần chứng minh.