Cho các số thực x,y thoả mãn x+y =2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= x3 + y3 + x2 + y2
Quảng cáo
1 câu trả lời 151
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$$\begin{aligned} A &= x^3 + y^3 + x^2 + y^2 \ &= (x^3 + x^2) + (y^3 + y^2) \ &= x^2(x+1) + y^2(y+1) \ &= (x+1-1)x^2 + (y+1-1)y^2 \ &\geq 2\sqrt{(x+1-1)x^2 \cdot (y+1-1)y^2} \ &= 2\sqrt{x^2y^2(x+1)(y+1)} \ &= 2\sqrt{(xy)^2(x+y+1)} \ &= 2\sqrt{(xy)^2(3)} \ &= 6|xy| \end{aligned}$$
Vì $x+y=2$ nên $4 = (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$, suy ra $x^2 + y^2 = 4 - 2xy$. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$$\begin{aligned} 4 &= x^2 + y^2 + 2xy \ &= (x^2 + y^2) + 2xy \ &= (4 - 2xy) + 2xy \ &= 4 \end{aligned}$$
Do đó, ta có $x^2 + y^2 = 2$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM một lần nữa, ta có:
$$\begin{aligned} A &\geq 6|xy| \ &= 6\left|\frac{(x+y)^2}{4} - \frac{x^2+y^2}{2}\right| \ &= 6\left|\frac{4}{4} - \frac{2}{2}\right| \ &= 6 \end{aligned}$$
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là $6$, đạt được khi và chỉ khi $x=y=1$.
Quảng cáo
Bạn muốn hỏi bài tập?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
7867
-
6030
-
zytera
1325 điểm
-
Dương Nguyễn
960 điểm
-
보고 싶어요
855 điểm
-
돈이없다 💸😭
815 điểm
-
우옌 ✨
790 điểm
-
`d.`
635 điểm
-
`color{blue}text{HuyTùng.`
555 điểm
-
౨ৎ𝘉ắ𝘱ت𝘭𝘶ộ𝘤تđê⋅˚₊‧ ଳ⋆.࿔*:･🌽
540 điểm
-
주디 홉스닉주디🥵👍
520 điểm
-
‧₊˚✩ ₊˚🎧⊹♡≽☁˚˖ִ໋🌷͙֒✧˚.🎀༘⋆⋅♡👾đẹρ-†®åî⋆⭒💫
435 điểm
-
Ngọc Linh hay nói linh tinh
385 điểm
-
Kiều Anh 350 điểm
-
누가 고철을 팔고 싶어할까요🗑️🗑️
345 điểm
-
Bích Hồng 345 điểm
Rút gọn
Bài viết mới nhất Lớp 9
-
3 năm trước5749
-
3 năm trước5120
-
3 năm trước4651
-
3 năm trước4625
