Hướng dẫn giải::

Chọn A

Ta có: \[f(1) = 1\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} = 1\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x - 1) = 1\].

Vậy hàm số liên tục tại \[{x_0} = 1\]. C đúng.

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 2\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(2x - 1) - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = 2\]

Vậy hàm số có đạo hàm tại \[{x_0} = 1\] và \[ \Rightarrow y' = - 2\sin 2x \Rightarrow y'' = - 4\cos 2x \Rightarrow y''\left( 0 \right) = - 4\]