Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn D

Cách 1

Ta có

$\begin{array}{l} {(\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C})}^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + 2 \vec{G A} . \vec{G B} + 2 \vec{G A} . \vec{G C} + 2 \vec{G B} . \vec{G C} = 0 \\ \Leftrightarrow G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + (G A^{2} + G B^{2} - A B^{2}) + (G A^{2} + G C^{2} - A C^{2}) + (G B^{2} + G C^{2} - B C^{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow A B^{2} + A C^{2} + B C^{2} = 3 (G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}) \end{array}$

Cách 2: Ta có:

$\{\begin{cases} M A^{2} = \frac{A B^{2} + A C^{2}}{2} - \frac{B C^{2}}{4} \\ G A = \frac{2}{3} M A \end{cases} \Rightarrow G A^{2} = \frac{4}{9} (\frac{A B^{2} + A C^{2}}{2} - \frac{B C^{2}}{4}) .$

Tương tự ta suy ra được

\begin{array}{l} G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} = \frac{4}{9} (\frac{A B^{2} + A C^{2}}{2} - \frac{B C^{2}}{4} + \frac{B A^{2} + B C^{2}}{2} - \frac{A C^{2}}{4} + \frac{C A^{2} + C B^{2}}{2} - \frac{A B^{2}}{4}) . \\ = \frac{1}{3} (A B^{2} + B C^{2} + C A^{2}) . \\ \Leftrightarrow 3 (G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}) = A B^{2} + B C^{2} + C A^{2} \end{array}

Cách 3: Chuẩn hóa giả sử tam giác ABC đều có cạnh là 1. Khi đó

$\{\begin{cases} A B^{2} + B C^{2} + C A^{2} = 3 \\ G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} = 1 \end{cases} \Rightarrow 3 (G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}) = A B^{2} + B C^{2} + C A^{2} .$

...Xem thêm

Answer 2