Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Điều kiện $\{\begin{cases} \sin x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \sin 2 x \neq 0$ .

Ta có $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \tan x + \cot x \Leftrightarrow \sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}$

$\Leftrightarrow \sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\sin x \cos x} \Leftrightarrow 2 \sin x \cos x . \sqrt{2} (\sin x + \cos x) = 2.$

Đặt $t = \sin x + \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \overset{}{\to} \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} .$

Phương trình trở thành $\Leftrightarrow \sqrt{2} t (t^{2} - 1) = 2 \Leftrightarrow t^{3} - t - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt{2}$

$\Rightarrow \sin x + \cos x = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sin x = \sqrt{2} - \cos x .$

Mà $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \Rightarrow \cos^{2} x + {(\sqrt{2} - \cos x)}^{2} = 1 \Leftrightarrow 2 \cos^{2} x - 2 \sqrt{2} \cos x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {(\sqrt{2} \cos x - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ . Chọn C

...Xem thêm

Answer 2