Cho hai dãy (un), (vn) thỏa mãn vn=un+1-un, với mọi n>=1 ,

Hoàng Bách

Đã trả lời bởi chuyên gia

đã hỏi trong Lớp 11 Toán học

· 17:22 05/01/2023

Đã trả lời bởi chuyên gia

Cho hai dãy

(u_{n}), (v_{n})

thỏa mãn

v_{n} = u_{n + 1} - u_{n}

\forall n \geq 1

, trong đó

u_{1} = 1

và

(v_{n})

là cấp số cộng có

v_{1} = 3

, công sai là 3. Đặt

S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}

. Tính

\lim \frac{S_{n}}{n^{3}}

A. $+ \infty$

B. $\frac{3}{4}$

C. 1

D. $\frac{1}{2}$

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

3 năm trước

Lời giải

Ta có: $v_{n} = v_{1} + (n - 1) d$ = $3 + 3 (n - 1) = 3 n$

Do $u_{n} = (u_{n} - u_{n - 1}) + (u_{n - 1} - u_{n - 2}) + ... + (u_{2} - u_{1}) + u_{1}$ = $v_{n - 1} + v_{n - 2} + ... + v_{1} + 1$ .

Nên $u_{n}$ $3 [(n - 1) + (n - 2) + ... + 1] + 1$ $\frac{3 n (n - 1)}{2} + 1$ $= \frac{3 n^{2} - 3 n + 2}{2}$ $\frac{3}{2} n^{2} - \frac{3}{2} n + 1$

Từ đó ta có: $u_{1} + u_{2} + u_{3} + ... + u_{n}$ $\frac{3}{2} (1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2}) - \frac{3}{2} (1 + 2 + ... + n) + n .1$

$= \frac{3}{2} \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - \frac{3}{2} \frac{n (n + 1)}{2} + n$ = $\frac{n^{3} + n}{2}$

$\Rightarrow$ $\lim \frac{S_{n}}{n^{3}} = \lim (\frac{1}{2} + \frac{1}{2 n^{2}}) = \frac{1}{2}$ .

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời

Bạn cần hỏi gì?