Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

c) Gọi $\{I\} = M N \cap A C$ . Từ I kẻ đường thẳng song song với SC cắt SA tại Q.

Ta có $\{\begin{cases} I Q q u a I \in (P) \\ I Q / / S C \\ S C / / (P) \end{cases} \Rightarrow I Q \subset (P)$ hay $(P) \equiv (Q M N)$ .

Gọi $\{K\} = S O \cap Q I$ . Qua K kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD tại R, P.

Ta có $\{\begin{cases} R P q u a K \in (P) \\ R P / / M N \\ M N \subset (P) \end{cases} \Rightarrow R P \subset (P)$ hay $(P) \equiv (M N P Q R)$

Dựa vào hình vẽ ta có thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPQR.

Ta có $S_{M N P Q R} = S_{M N P R} + S_{P Q R}$

Mặt phẳng (P) cắt (SBC) theo giao tuyến RM và (P) song song với SC nên RM // SC.

Mặt phẳng (P) cắt (SCD) theo giao tuyến NP và (P) song song với SC nên NP // SC

Vậy tứ giác MNPR là hình bình hành có $M N ⊥ N P$ (do MN // BD; NP // SC; $B D ⊥ S C$ ) nên là hình chữ nhật.

Tam giác PQR có PR // BD; $B D ⊥ (S A C)$ chứa QK nên là $Q K ⊥ P R$ .

Do QK // SC và $\frac{A I}{A C} = \frac{3}{4}$ nên

$Q I = \frac{3}{4} S C = \frac{3}{4} \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \frac{3}{4} \sqrt{{(a \sqrt{3})}^{2} + {(a \sqrt{2})}^{2}} = \frac{3 a \sqrt{5}}{4}$

Suy ra $Q K = Q I - K I = Q I - \frac{S C}{2} = \frac{3 a \sqrt{5}}{4} - \frac{a \sqrt{5}}{2} = \frac{3 a \sqrt{5}}{4}$

$\Rightarrow S_{P Q R} = \frac{1}{2} P R . Q K = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{a \sqrt{5}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{10}}{16}$

Lại có $S_{M N P R} = M N . N P = \frac{B D}{2} . \frac{S C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{a \sqrt{5}}{2} = \frac{a^{2} \sqrt{10}}{4}$

Suy ra

S_{M N P Q R} = S_{M N P R} + S_{P Q R} = \frac{a^{2} \sqrt{10}}{4} + \frac{a^{2} \sqrt{10}}{16} = \frac{5 a^{2} \sqrt{10}}{16}

...Xem thêm

Answer 2