Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Điều kiện $\sin x \neq 0$ .

Ta có $2 \sin x + \cot x = 2 \sin 2 x + 1 \Rightarrow 2 \sin^{2} x + \cos x = 4 \sin^{2} x \cos x + \sin x$

$\Leftrightarrow \sin x (2 \sin x - 1) = \cos x (4 \sin^{2} x - 1)$

$\Leftrightarrow (2 \sin x - 1) [\cos x (2 \sin x + 1) - \sin x] = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = \frac{1}{2} \\ 2 \sin x \cos x + \cos x - \sin x = 0 \end{array}$

Trường hợp 1: $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$ (thỏa mãn điều kiện)

Trường hợp 2: $2 \sin x \cos x - (\sin x - \cos x) = 0$ (1)

Đặt $t = \sin x - \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2}$

Phương trình (1) trở thành $(1 - t^{2}) - t = 0 \Leftrightarrow t^{2} + t - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ t = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \end{array}$

Do $|t| \leq \sqrt{2}$ nên $t = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow \sin x - \cos x = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

$\Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = t = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + \arcsin (\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}) + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{4} - \arcsin (\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}) + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Vậy phương trình đã cho có 4 họ nghiệm $x = \frac{π}{6} + k 2 π;$ $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π;$

...Xem thêm

Answer 2