Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có $\frac{3 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x + 4 \cos^{2} x + 1} \leq m + 1 \Leftrightarrow \frac{3 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x + 2 \cos 2 x + 3} \leq m + 1$

Do $\sin 2 x + 2 \cos 2 x + 1 > 0 \forall x \Rightarrow$ hàm số có tập xác định $D = ℝ$

Đặt $y = \frac{3 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x + 2 \cos 2 x + 3} \Leftrightarrow (3 - y) \sin 2 x + (1 - 2 y) \cos 2 x = 3 y$ (1)

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ${(3 - y)}^{2} + {(1 - 2 y)}^{2} \geq 9 y^{2}$

$\Leftrightarrow 2 y^{2} + 5 y - 5 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{- 5 - \sqrt{65}}{4} \leq y \leq \frac{- 5 + \sqrt{65}}{4}$

Suy ra $\max y = \frac{- 5 + \sqrt{65}}{4}$

Để bất phương trình $\frac{3 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x + 4 \cos^{2} x + 1} \leq m + 1$ đúng với mọi $x \in ℝ$ thì $\frac{- 5 + \sqrt{65}}{4} \leq m + 1 \Leftrightarrow m \geq \frac{\sqrt{65} - 9}{4}$

Vậy

m \geq \frac{\sqrt{65} - 9}{4}

là các giá trị cần tìm

...Xem thêm

Answer 2