Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Tập xác định $D = ℝ$ .

Ta có $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 \Rightarrow y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$ .

Gọi $M (x_{M}; y_{M})$ là một điểm thuộc $(C) : y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ , suy ra tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là $y = (3 x_{M}^{2} - 6 x_{M}) (x - x_{M}) + x_{M}^{3} - 3 x_{M}^{2} + 2$ .

Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm $N (x_{N}; y_{N})$ (khác M) nên $x_{M}, x_{N}$ là nghiệm của phương trình:

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 = (3 x_{M}^{2} - 6 x_{M}) (x - x_{M}) + x_{M}^{3} - 3 x_{M}^{2} + 2$ .

$\Leftrightarrow (x^{3} - x_{M}^{3}) - 3 (x^{2} - x_{M}^{2}) - (3 x_{M}^{2} - 6 x_{M}) (x - x_{M}) = 0$

$\Leftrightarrow {(x - x_{M})}^{2} (x + 2 x_{M} - 3) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{M} \\ x = - 2 x_{M} + 3 \end{array}$

$\Rightarrow x_{N} = - 2 x_{M} + 3$

Khi đó $P = 5 x_{M}^{2} + x_{N}^{2} = 5 x_{M}^{2} + {(- 2 x_{M} + 3)}^{2} = 9 x_{M}^{2} - 12 x_{M} + 9 \geq 9 {(x_{M} - \frac{2}{3})}^{2} + 5$

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi $x_{M} = \frac{2}{3} .$

...Xem thêm

Answer 2