Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Điều kiện cần

Ta có $f (1) = \frac{1}{3}; \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (\frac{x^{3}}{3}) = \frac{1}{3}$ và $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (a x + b) = a + b .$

Để hàm số $f (x)$ có đạo hàm tại $x = 1$ thì $f (x)$ liên tục tại $x = 1$ .

Do đó $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1) \Leftrightarrow a + b = \frac{1}{3} .$

Điều kiện đủ: $f^{'} (1^{+}) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} + x + 1}{3} = 1.$

$f^{'} (1^{-}) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{a x + b - (a + b)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{a x - a}{x - 1} = a .$

Để hàm số $f (x)$ có đạo hàm tại $x = 1$ thì $f^{'} (1^{+}) = f^{'} (1^{-}) \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow b = - \frac{2}{3} .$

Vậy

a = 1; b = - \frac{2}{\begin{array}{l} 3 \end{array}}

thỏa mãn yêu cầu của bài toán

...Xem thêm

Answer 2