Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Bổ đề: Phương trình đa thức bậc lẻ $a_{2 n + 1} x^{2 n + 1} + a_{2 n} x^{2 n} + ... + a_{1} x + a_{0} = 0$ luôn có ít nhất một nghiệm, với mọi giá trị của $a_{i}, i = \bar{2 n + 1, 0}$

Chứng minh:

+ Xét hàm số $f (x) = a_{2 n + 1} x^{2 n + 1} + a_{2 n} x^{2 n} + ... + a_{1} x + a_{0}$ đây là hàm đa thức, xác định trên R nên liên tục trên R

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} [a_{2 n + 1} x^{2 n + 1} + a_{2 n} x^{2 n} + ... + a_{1} x + a_{0}] = + \infty$ nên tồn tại $x_{1} \in ℝ$ sao cho $f (x_{1}) > 0$

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} [a_{2 n + 1} x^{2 n + 1} + a_{2 n} x^{2 n} + ... + a_{1} x + a_{0}] = - \infty$ nên tồn tại $x_{2} \in ℝ$ sao cho $f (x_{2}) < 0$

Do đó tồn tại $x_{0} \in (x_{1}; x_{2})$ sao cho $f (x_{0}) = 0$

Vậy phương trình đa thức bậc lẻ luôn có ít nhất một nghiệm, với mọi giá trị của $a_{i}, i = \bar{2 n + 1, 0}$

Áp dụng:

Đặt $f (x) = (m^{2} - 5 x + 6) {(x + 5)}^{2019} (x^{2020} + 2 x) + 2 x - 1$ Hàm số f(x) liên tục trên R

+ Xét $m^{2} - 5 m + 6 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = 3 \end{array}$ . Khi đó phương trình trở thành $2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

+ Xét $m^{2} - 5 m + 6 \neq 0 \Rightarrow \{\begin{cases} m \neq 2 \\ m \neq 3 \end{cases}$ .

Hàm f(x) có bậc cao nhất là $2019 + 2020 = 4039$ là đa thức bậc lẻ nên f(x)=0 có ít nhất một nghiệm với $\forall m \in ℝ$

...Xem thêm

Answer 2