Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Xét hàm số f(x) trên đoạn $[0; 2 π]$ , khi đó $f (x) = \{\begin{cases} \sin x, k h i x \in [0; \frac{π}{2}] \cup [\frac{3 π}{2}; 2 π] \\ 1 + \cos x, k h i x \in (\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}) \end{cases}$

Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 0 = f (0); \lim_{x \to 2 π^{-}} f (x) = 0 = f (2 π)$

Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng $[0; \frac{π}{2}); (\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ và $(\frac{3 π}{2}; 2 π]$

Ta xét tại $x = \frac{π}{2}$

$\lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} (1 + \cos x) = 1; \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin x = 1; f (\frac{π}{2}) = 1$

Như vậy $\lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} f (x = f (\frac{π}{2})$ nên hàm số f(x) liên tục tại điểm $x = \frac{π}{2}$

Ta xét tại $x = \frac{3 π}{2}$

$\lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{+}} \sin x = - 1; \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} (1 + \cos x) = 1$

Vì $\lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{+}} f (x)$ nên hàm số f(x) gián đoạn tại điểm $x = \frac{3 π}{2}$

Do đó, trên đoạn $[0; 2 π]$ hàm số chỉ gián đoạn tại điểm $x = \frac{3 π}{2}$ .

Do tính chất tuần hoàn của hàm số $y = \cos x$ và $y = \sin x$ suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm $x = \frac{3 π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$

Ta có $x \in (0; 2018) \Leftrightarrow 0 < \frac{3 π}{2} + k 2 π < 2018 \Leftrightarrow - \frac{3}{4} < k < \frac{1009}{π} - \frac{3}{4} \approx 320, 42$

Vì $k \in ℤ$ nên $k \in \{0, 1, 2, ..., 320\}$ . Vậy hàm số f có 321 điểm gián đoạn trên khoảng $(0; 2018)$

...Xem thêm

Answer 2