Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án D

Hàm số $y = \frac{\cos^{2} x + \sin x . \cos x}{1 + \sin^{2} x}$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

$y = \frac{\cos^{2} x + \sin x . \cos x}{1 + \sin^{2} x} = \frac{\frac{1 + \cos 2 x}{2} + \frac{\sin 2 x}{2}}{1 + \sin^{2} x} = \frac{1 + \cos 2 x + \sin 2 x}{2 + 2 \sin^{2} x} = \frac{1 + \cos 2 x + \sin 2 x}{3 - \cos 2 x}$

Có $y = \frac{1 + \cos 2 x + \sin 2 x}{3 - \cos 2 x} \Leftrightarrow 3 y - y \cos 2 x = 1 + \cos 2 x + \sin 2 x \Leftrightarrow (1 + y) \cos 2 x + \sin 2 x = 3 y - 1$

$\Leftrightarrow {(3 y - 1)}^{2} = {((1 + y) \cos 2 x + \sin 2 x)}^{2}$

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

${(1 + y)}^{2} + 1 \geq {(3 y - 1)}^{2} \Leftrightarrow 1 + 2 y + y^{2} + 1 \geq 9 y^{2} - 6 y + 1 \Leftrightarrow 8 y^{2} - 8 y - 1 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2 - \sqrt{6}}{4} \leq y \leq \frac{2 + \sqrt{6}}{4}$ .

Vậy $\min y = \frac{2 - \sqrt{6}}{4}; \max y = \frac{2 + \sqrt{6}}{4}$ .

...Xem thêm

Answer 2