Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án C

Hàm số $y = \sin x + \sqrt{2 - \sin^{2} x}$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Ta có $- 1 \leq \sin x \leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq \sin^{2} x \leq 1 \Leftrightarrow - 1 \leq - \sin^{2} x \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq 2 - \sin^{2} x \leq 2 \Leftrightarrow 1 \leq \sqrt{2 - \sin^{2} x} \leq \sqrt{2}$ .

Lại có $- 1 \leq \sin x \leq 1 \Rightarrow 0 \leq \sin x + \sqrt{2 - \sin^{2} x} \leq 1 + \sqrt{2} \Leftrightarrow 0 \leq y \leq 1 + \sqrt{2}$ .

$y = 0 \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π$ .

Vậy $\min y = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π$ .

$y = 1 + \sqrt{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \sin x = 1 \\ \sin x = 0 \end{cases}$ (vô nghiệm).

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

$2 \sin x \sqrt{2 - \sin^{2} x} \leq \sin^{2} x + 2 - \sin^{2} x \Leftrightarrow 2 \sin x \sqrt{2 - \sin^{2} x} \leq 2$ .

$\Leftrightarrow 2 + 2 \sin x \sqrt{2 - \sin^{2} x} \leq 4 \Leftrightarrow y^{2} \leq 4 \Leftrightarrow y \leq 2$

Dấu “=” khi và chỉ khi $\sin x = \sqrt{2 - \sin^{2} x} \Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Vậy $\min y = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ; \max y = 2 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

...Xem thêm

Answer 2