Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án đúng là A

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x² – 2x – 2 = x + m (1)

⇔ x² – 3x – 2 – m = 0

Ta có: ∆ = (– 3)² – 4.1.(– 2 – m) = 17 + 4m

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = 17 + 4m > 0 ⇔ m > $- \frac{17}{4}$ .

Gọi x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình (1).

Áp dụng định lí Vi – et ta được: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 3 \\ x_{1} . x_{2} = - 2 - m \end{cases}$ .

Đặt A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂)

⇒ OA = $\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ ⇒ OA² = $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = x_{1}^{2} + {(x_{1} + m)}^{2} = 2 x_{1}^{2} + 2 m x_{_{1}} + m^{2}$

⇒ OB = $\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}$ ⇒ OB² = $x_{2}^{2} + y_{2}^{2} = x_{2}^{2} + {(x_{2} + m)}^{2} = 2 x_{2}^{2} + 2 m x_{2} + m^{2}$ .

⇒ OA² + OB² = $2 x_{1}^{2} + 2 m x_{_{1}} + m^{2} + 2 x_{2}^{2} + 2 m x_{2} + m^{2}$

= $2 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + 2 m (x_{_{1}} + x_{2}) + 2 m^{2}$

= $2 {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} + 2 m (x_{_{1}} + x_{2}) + 2 m^{2}$

= ${2.3}^{2} - 4 (- 2 - m) + 2 m .3 + 2 m^{2}$

= 2m² + 10m + 26

= 2(m + $\frac{5}{2}$ )² + $\frac{27}{2}$ ≥ $\frac{27}{2}$

Vậy OA² + OB² đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{27}{2}$ khi m = $- \frac{5}{2}$ .

...Xem thêm

Answer 2