Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

b) Xét phương trình $\sqrt{x^{2} - (2 m - 1) x - m^{2} + 5 m + \frac{15}{4}} = x + 1$ (*)

Điều kiện x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ – 1

(*) ⇔ x² – (2m – 1)x – m² + 5m + $\frac{15}{4}$ = x² + 2x + 1

⇔ (2m + 1)x + m² – 5m – $\frac{11}{4}$ = 0

+) TH1: 2m + 1 = 0 ⇔ m = $- \frac{1}{2}$ . Khi đó ta có:

$[2 (- \frac{1}{2}) + 1] . x + {(- \frac{1}{2})}^{2} - 5. (- \frac{1}{2}) - \frac{11}{4} = 0$ = 0

⇔ 0.x + 0 = 0 (luôn đúng) với mọi x ≥ – 1

Do đó m = $- \frac{1}{2}$ thỏa mãn.

+) TH1: 2m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ $- \frac{1}{2}$ . Khi đó ta có:

(2m + 1)x + m² – 5m – $\frac{11}{4}$ = 0

⇔ x = $- \frac{m^{2} - 5 m - \frac{11}{4}}{2 m + 1}$

Để phương trình có nghiệm thì $- \frac{m^{2} - 5 m - \frac{11}{4}}{2 m + 1} \geq - 1$

⇔ m² – 5m – $\frac{11}{4}$ ≥ – 2m – 1

⇔ m² – 3m – $\frac{7}{4}$ ≥ 0

Xét tam thức bậc hai f(m) = m² – 3m – $\frac{7}{4}$ , có a = 1 và ∆ = (– 3)² – 4.1. $(- \frac{7}{4})$ = 16 > 0 suy ra f(m) có hai nghiệm m₁ = $- \frac{1}{2}$ và m₂ = $\frac{7}{2}$ .

Dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai ta có:

f(m) ≥ 0 ⇔ m ≤ $- \frac{1}{2}$ hoặc m ≥ $\frac{7}{2}$ .

Suy ra m < $- \frac{1}{2}$ hoặc m ≥ $\frac{7}{2}$ .

Vậy với m ≤ $- \frac{1}{2}$ hoặc m ≥ $\frac{7}{2}$ thì phương trình có nghiệm.

...Xem thêm

Answer 2