Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Phương trình: $2 (x + \sqrt{4 - x^{2}}) = m + x \sqrt{4 - x^{2}}$ (1).

+ Điều kiện $- 2 \leq x \leq 2$

+ Đặt $t = x + \sqrt{4 - x^{2}}$ , với $- 2 \leq x \leq 2 \Rightarrow - 2 \leq t \leq 2 \sqrt{2}$

Khi đó $t^{2} = 4 + 2 x \sqrt{4 - x^{2}} \Rightarrow x \sqrt{4 - x^{2}} = \frac{t^{2} - 4}{2}$ .

Phương trình (1) trở thành:

$2 t = m + \frac{t^{2} - 4}{2} \Leftrightarrow t^{2} - 4 t + 2 m - 4 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 4 t = 4 - 2 m$ (2)

+ Ta có $t = x + \sqrt{4 - x^{2}}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \leq t \\ x = \frac{t \pm \sqrt{8 - t^{2}}}{2} \end{cases}$

+ Nhận xét : Với $- 2 \leq t \leq 2 \sqrt{2}$ thì $\frac{t - \sqrt{8 - t^{2}}}{2} \leq t$

Với $2 \leq t \leq 2 \sqrt{2}$ thì $\frac{t + \sqrt{8 - t^{2}}}{2} \leq t$

+ Do đó

Với $- 2 \leq t < 2$ thì phương trình có 1 nghiệm $x = \frac{t - \sqrt{8 - t^{2}}}{2}$

Với $2 \leq t \leq 2 \sqrt{2}$ thì phương trình có 2 nghiệm $x = \frac{t \pm \sqrt{8 - t^{2}}}{2}$

+ Như vậy, để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm $t_{1}, t_{2}$ thỏa mãn : $- 2 \leq t_{1} < 2 \leq t_{2} \leq 2 \sqrt{2}$

Lập BBT của hàm số $f (t) = t^{2} - 4 t$ ,

Cho phương trình 2(x+căn 4-x^2)=m+xcăn 4-x^2. Gọi m0 là giá trị nhỏ nhất của tham số m để phương trình (ảnh 1)

Từ BBT ta thấy phương trình (2) có 2 nghiệm $t_{1}, t_{2}$ thỏa mãn $- 2 \leq t_{1} < 2 \leq t_{2} \leq 2 \sqrt{2}$ $\Leftrightarrow - 4 < 4 - 2 m \leq 8 - 8 \sqrt{2} \Leftrightarrow 4 \sqrt{2} - 2 \leq m < 4$ .

Do đó $m_{0} = 4 \sqrt{2} - 2$ . Vậy $m_{0} \in [3; 4)$ .

...Xem thêm

Answer 2