Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Giả sử $\frac{A M}{A B} = k$ suy ra $\vec{A M} = k \vec{A B}; \vec{B N} = k \vec{B C}; \vec{C P} = k \vec{C A}$

Cách 1: Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm $Δ A B C$ và $Δ M N P$

Suy ra $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ và $\vec{G' M} + \vec{G' N} + \vec{G' P} = \vec{0}$ (*)

Ta có $\vec{A M} = k \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{A G} + \vec{G G'} + \vec{G' M} = k \vec{A B}$

Tương tự $\vec{B G} + \vec{G G'} + \vec{G' N} = k \vec{B C}$

Và $\vec{C G} + \vec{G G'} + \vec{G' P} = k \vec{C A}$

Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được $(\vec{A G} + \vec{B G} + \vec{C G}) + 3 \vec{G G'} + (\vec{G' M} + \vec{G' N} + \vec{G' P}) = k (\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A})$

Kết hợp với (*) ta được $\vec{G G'} = \vec{0}$

Suy ra điều phải chứng minh

Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Ta có: $\vec{G M} + \vec{G N} + \vec{G P} = \vec{G A} + \vec{A M} + \vec{G B} + \vec{B N} + \vec{G C} + \vec{C P}$

$= \vec{A M} + \vec{B N} + \vec{C P} = k \vec{A B} + k \vec{B C} + k \vec{C A} = k (\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A}) = \vec{0}$

Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

...Xem thêm

Answer 2