Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy các điểm N, P, Q sao cho

G N = a, G P = b, G Q = c

và dựng hình bình hành

G P R N

Ta có

a^{2} . \vec{G D} + b^{2} . \vec{G E} + c^{2} . \vec{G F} = \vec{0}

\Leftrightarrow a . G D . \vec{G N} + b . G E . \vec{G P} + c . G F . \vec{G Q} = \vec{0}

(*)
Ta có

a . G D = 2 S_{Δ G B C}, b . G E = 2 S_{Δ G C A}, c . G F = 2 S_{Δ G A B}

, mặt khác G là trọng tâm tam giác ABC nên

S_{Δ G B C} = S_{Δ G C A} = S_{Δ G A B}

suy ra

a . G D = b . G E = c . G F

Vậy

(*) \Leftrightarrow \vec{G N} + \vec{G P} + \vec{G Q} = \vec{0}

Ta có

A C = G P = b, P R = B C = a

và

\hat{A C B} = \hat{G P R}

(góc có cặp cạnh vuông góc với nhau)
Suy ra

Δ A C B = Δ G P R (c . g . c)

\Rightarrow G R = A B = c

và

\hat{P G R} = \hat{B A C}

Ta có

\hat{Q G P} + \hat{B A C} = 180^{0} \Rightarrow \hat{Q G P} + \hat{G P R} = 180^{0} \Rightarrow Q, G, R

thẳng hàng do đó G là trung điểm của QR
Theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có

\vec{G N} + \vec{G P} + \vec{G Q} = \vec{G R} + \vec{G Q} = \vec{0}

Vậy

a^{2} . \vec{G D} + b^{2} . \vec{G E} + c^{2} . \vec{G F} = \vec{0}

.

...Xem thêm

Answer 2

Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy các điểm N, P, Q sao cho

G N = a, G P = b, G Q = c

và dựng hình bình hành

G P R N

Ta có

a^{2} . \vec{G D} + b^{2} . \vec{G E} + c^{2} . \vec{G F} = \vec{0}

\Leftrightarrow a . G D . \vec{G N} + b . G E . \vec{G P} + c . G F . \vec{G Q} = \vec{0}

(*)
Ta có

a . G D = 2 S_{Δ G B C}, b . G E = 2 S_{Δ G C A}, c . G F = 2 S_{Δ G A B}

, mặt khác G là trọng tâm tam giác ABC nên

S_{Δ G B C} = S_{Δ G C A} = S_{Δ G A B}

suy ra

a . G D = b . G E = c . G F

Vậy

(*) \Leftrightarrow \vec{G N} + \vec{G P} + \vec{G Q} = \vec{0}

Ta có

A C = G P = b, P R = B C = a

và

\hat{A C B} = \hat{G P R}

(góc có cặp cạnh vuông góc với nhau)
Suy ra

Δ A C B = Δ G P R (c . g . c)

\Rightarrow G R = A B = c

và

\hat{P G R} = \hat{B A C}

Ta có

\hat{Q G P} + \hat{B A C} = 180^{0} \Rightarrow \hat{Q G P} + \hat{G P R} = 180^{0} \Rightarrow Q, G, R

thẳng hàng do đó G là trung điểm của QR
Theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có

\vec{G N} + \vec{G P} + \vec{G Q} = \vec{G R} + \vec{G Q} = \vec{0}

Vậy

a^{2} . \vec{G D} + b^{2} . \vec{G E} + c^{2} . \vec{G F} = \vec{0}

.