Cho x,y là các số thực thỏa mãn 2(x^2+y^2)=xy=1 . Giá trị lớn nhất của P=3(x^4 +y^4)+5x^2y^2 là

Quang Minh

Đã trả lời bởi chuyên gia

· 16:53 05/01/2023

Đã trả lời bởi chuyên gia

Cho x,y là các số thực thỏa mãn $2 (x^{2} + y^{2}) = x y + 1$ . Giá trị lớn nhất của $P = 3 (x^{4} + y^{4}) + 5 x^{2} y^{2}$ là

A. 3

B. 2

C. $\frac{11}{9}$

D. $\frac{11}{10}$

Trả Lời

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

1 câu trả lời 91

Minh Đức

3 năm trước

Chọn C .

Ta có $P = 3 (x^{4} + y^{4}) + 5 x^{2} y^{2} = 3 [{(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x^{2} y^{2}] + 5 x^{2} y^{2} = 3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} - x^{2} y^{2}$

Vì $x^{2} + y^{2} = \frac{x y + 1}{2}$ nên $P = 3 {(\frac{x y + 1}{2})}^{2} - x^{2} y^{2} = - \frac{1}{4} x^{2} y^{2} + \frac{3}{2} x y + \frac{3}{4}$

$\{\begin{cases} 2 (x^{2} + y^{2}) = x y + 1 \\ x^{2} + y^{2} \geq 2 x y \end{cases} \Rightarrow x y + 1 \geq 4 x y \Rightarrow x y \leq \frac{1}{3}$

Mặt khác

$2 (x^{2} + y^{2}) = x y + 1 \Leftrightarrow 2 [{(x + y)}^{2} - 2 x y] = x y + 1 \Leftrightarrow 2 {(x + y)}^{2} = 5 x y + 1 \Rightarrow 5 x y + 1 \geq 0 \Rightarrow x y \geq - \frac{1}{5}$

Đặt $t = x y$ ta có $P = - \frac{1}{4} t^{2} + \frac{3}{2} t + \frac{3}{4}$ với $- \frac{1}{5} \leq t \leq \frac{1}{3}$

Kết luận: $\underset{[- \frac{1}{5}; \frac{1}{3}]}{\max P} = \frac{11}{9}$ Khi $t = \frac{1}{3}$

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời

Bạn cần hỏi gì?

1 câu trả lời 91

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 10