Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) với trục hoành: $x^{2} - 2 m x + 3 m - 2 = 0 \begin{matrix} (*) \end{matrix}$

Để (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2} \Leftrightarrow$ Phương trình (*) có hai nghiệm

phân biệt $x_{1}, x_{2} \Leftrightarrow Δ' = m^{2} - 3 m + 2 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 2 \\ m < 1 \end{array} . \begin{matrix} (* *) \end{matrix}$

Với điều kiện (**), theo định lí Viét ta có: $x_{1} + x_{2} = 2 m, x_{1} x_{2} = 3 m - 2.$

Do đó $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 4 m^{2} - 2 (3 m - 2) = 4 m^{2} - 6 m + 4$

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4 m^{2} - 6 m + 4 = {(2 m - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4} \geq \frac{7}{4}, \forall m \in D = (- \infty; 1) \cup (2; + \infty) .$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$2 m - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{4} \in D .$

Vậy biểu thức $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{7}{4}$ khi và chỉ khi $m = \frac{3}{4} .$

...Xem thêm

Answer 2