Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

$x^{2} - 2 (m - 1) x - 2 m = 2 x + 3 \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x - 2 m - 3 = 0 (*)$

Ta có: $Δ^{'} = m^{2} + 2 m + 3 > 0$ với mọi m nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt hay hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A, B$ .

Gọi là hai nghiệm của phương trình (*) . Khi đó

Ta có $\vec{O A} = (x_{A}; 2 x_{A} + 3), \vec{O B} = (x_{B}; 2 x_{B} + 3)$ .

$\begin{array}{l} O A^{2} + O B^{2} = x_{A}^{2} + {(2 x_{A} + 3)}^{2} + x_{B}^{2} + {(2 x_{B} + 3)}^{2} \\ = 5 (x_{A}^{2} + x_{B}^{2}) + 12 (x_{A} + x_{B}) + 18 \\ = 5 {(x_{A} + x_{B})}^{2} + 12 (x_{A} + x_{B}) + 18 - 10 x_{A} x_{B} (1) \end{array}$

Theo định lí Vi-et ta có $x_{A} + x_{B} = 2 m, x_{A} x_{B} = - 2 m - 3$

Khi đó (1) trở thành $O A^{2} + O B^{2} = 20 m^{2} + 44 m + 48 = 20 {(m + \frac{11}{10})}^{2} + \frac{119}{5}$

Tìm được $O A^{2} + O B^{2}$ nhỏ nhất bằng $\frac{119}{5}$ khi $m = \frac{- 11}{10}$ .

Vậy $m = \frac{- 11}{10}$ là giá trị cần tìm.

...Xem thêm

Answer 2