+ Phương trình hoành độ giao điểm: $\left(m+3\right)x^2-2\left(m+1\right)x+m=0$

+ Với $\left\{\begin{array}{l}m\ne -3\\ m\le 1\end{array}\right.$  phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$

+ khi đó theo định lí vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{2(m+1)}{m+3}\\ x_1{x}_2=\frac{m}{m+3}\end{array}\right.$  , ta có:

$F=\left(x_1-a\right)\left(x_2-a\right)=x_1{x}_2-a(x_1+x_2)+a^2$= $\frac{m}{m+3}-\frac{2a(m+1)}{m+3}+a^2$

$=\frac{m-2am-2a}{m+3}+a^2=\frac{m+3-2a(m+3)+4a-3}{m+3}+a^2=1-2a+a^2+\frac{4a-3}{m+3}$

+ F không phụ thuộc vào m $\iff 4a-3=0\iff a=\frac{3}{4}$

+ Với $a=\frac{3}{4}$  ta có $F=\frac{1}{4}\iff 3(x_1+x_2)-4x_1{x}_2=2$

Rõ ràng khi đó ta thấy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức trên chẳng hạn như $m=0$  ta có $3x^2-2x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{2}{3}\end{array}\right.$ thỏa hệ thức của bài toán.

Ta có thể sử lý theo hướng: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{2(m+1)}{m+3}\\ x_1{x}_2=\frac{m}{m+3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2-\frac{4}{m+3}\\ x_1{x}_2=1-\frac{3}{m+3}\end{array}\right.\Rightarrow 3(x_1+x_2)-4x_1{x}_2=2$

Đây là hệ thức không phụ thuộc vào m 

Từ yêu cầu bài toán có $F=\left(x_1-a\right)\left(x_2-a\right)=x_1{x}_2-a(x_1+x_2)+a^2\Rightarrow 4F=4x_1{x}_2-4a(x_1+x_2)+4a^2$

Hay $4F=3(x_1+x_2)-2-4a(x_1+x_2)+4a^2=(3-4a)(x_1+x_2)+4a^2-2$

Để không phụ thuộc vào m   thì $4a-3=0\iff a=\frac{3}{4}$

Thay với $a=\frac{3}{4}$   ta có $4a-3=0\iff a=\frac{3}{4}$

+ Với  $a=\frac{3}{4}$ ta có $F=\frac{1}{4}\iff 3(x_1+x_2)-4x_1{x}_2=2$

Rõ ràng khi đó ta thấy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức trên chẳng hạn như m=0  ta có $3x^2-2x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{2}{3}\end{array}\right.$ thỏa hệ thức của bài toán.