Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hàm số đã cho có tập xác định là R $\Leftrightarrow x^{4} - x^{2} + 1 + m x \sqrt{2 x^{4} + 2} \geq 0, \forall x \in ℝ$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 {(\sqrt{x^{4} + 1})}^{2} + 2 m (\sqrt{2} x) \sqrt{x^{4} + 1} - {(\sqrt{2} x)}^{2} \geq 0, \forall x \in ℝ \\ \Leftrightarrow 2 + 2 m \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{x^{4} + 1}} - {(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{x^{4} + 1}})}^{2} \geq 0, \forall x \in ℝ \\ \Leftrightarrow {(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{x^{4} + 1}})}^{2} - 2 m \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{x^{4} + 1}} - 2 \leq 0, \forall x \in ℝ (1) \end{array}$

Đặt $t = \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ thì $|t| = \frac{|\sqrt{2} x|}{\sqrt{x^{4} + 1}} = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{4} + 1}} \leq 1,$ đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x^{2} = 1.$

(1) trở thành $t^{2} - 2 m t - 2 \leq 0, \forall t \in [- 1; 1] (2)$

Xét hàm số $f (t) = t^{2} - 2 m t - 2.$ Đây là hàm số bậc hai có hệ số $a = 1 > 0$ nên

$(2) \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (- 1) \leq 0 \\ f (1) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 m - 1 \leq 0 \\ 2 m + 1 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq m \leq \frac{1}{2} .$

...Xem thêm

Answer 2

Hàm số đã cho có tập xác định là R $\Leftrightarrow x^{4} - x^{2} + 1 + m x \sqrt{2 x^{4} + 2} \geq 0, \forall x \in ℝ$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 {(\sqrt{x^{4} + 1})}^{2} + 2 m (\sqrt{2} x) \sqrt{x^{4} + 1} - {(\sqrt{2} x)}^{2} \geq 0, \forall x \in ℝ \\ \Leftrightarrow 2 + 2 m \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{x^{4} + 1}} - {(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{x^{4} + 1}})}^{2} \geq 0, \forall x \in ℝ \\ \Leftrightarrow {(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{x^{4} + 1}})}^{2} - 2 m \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{x^{4} + 1}} - 2 \leq 0, \forall x \in ℝ (1) \end{array}$

Đặt $t = \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ thì $|t| = \frac{|\sqrt{2} x|}{\sqrt{x^{4} + 1}} = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{4} + 1}} \leq 1,$ đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x^{2} = 1.$

(1) trở thành $t^{2} - 2 m t - 2 \leq 0, \forall t \in [- 1; 1] (2)$

Xét hàm số $f (t) = t^{2} - 2 m t - 2.$ Đây là hàm số bậc hai có hệ số $a = 1 > 0$ nên

$(2) \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (- 1) \leq 0 \\ f (1) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 m - 1 \leq 0 \\ 2 m + 1 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq m \leq \frac{1}{2} .$

1 câu trả lời 89

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 10