Chứng minh rằng phương trình a.cos4 x + b.cos3 x  2c.cos x = 2a.sin3 x luôn có nghiệm với mọi tham số a, b, c.

Minh Đức

Đã trả lời bởi chuyên gia

đã hỏi trong Lớp 11 Toán học

· 13:50 10/08/2022

Đã trả lời bởi chuyên gia

Chứng minh rằng phương trình a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x = 2a.sin³ x luôn có nghiệm với mọi tham số a, b, c.

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

1 tháng trước

làm bài

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

4 năm trước

Ta có a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x = 2a.sin³ x.

Xét hàm số f (x) = a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x - 2a.sin³ x.

+) Với a = 0 Þ f (x) = b.cos³ x - 2c.cos x = cos x.( b.cos² x - 2c) = 0

Nên luôn cho nghiệm cos x = 0 (*)

+) Với a ¹ 0 Þ f (x) = a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x - 2a.sin³ x

f (x) liên tục trên ℝ nên liên tục trên đoạn (1)

Ta có: $\begin{matrix} f (- \frac{π}{2}) = 2 a \\ f (\frac{π}{2}) = - 2 a \end{matrix}\}$

$\Rightarrow f (- \frac{π}{2}) . f (\frac{π}{2}) = 2 a . (- 2 a) = - 4 a^{2} < 0$ (2)

Từ (1) và (2) nên suy ra phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ (**)

Từ (*) và (**), vậy suy ra phương trình a.cos⁴ x + b.cos³ x - 2c.cos x = 2a.sin³ x luôn có nghiệm với mọi tham số a, b, c.

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời

Bạn cần hỏi gì?