Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Xét hàm số f(x) trên đoạn $[0; 2 π]$ , khi đó:

$f (x) = \{\begin{cases} sinx khi x \in [0; \frac{π}{2}] \cup [\frac{3 π}{2}; 2 π] \\ 1 + cosx khi x \in (\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}) \end{cases}$

Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 0 = f (0)$ ; $\lim_{x \to 2 π^{-}} f (x) = 0 = f (2 π)$ .

Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng $[0; \frac{π}{2})$ ; $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ và $(\frac{3 π}{2}; 2 π]$ .

Ta xét tại $x = \frac{π}{2}$ :

$\lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} (1 + cosx) = 1$ ; $\lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} (1 + cosx) = 1$ ; $f (\frac{π}{2}) = 1$

Như vậy $\lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} f (x)$ $= f (\frac{π}{2})$ nên hàm số f(x) liên tục tại điểm $x = \frac{π}{2}$

Ta xét tại $x = \frac{3 π}{2}$ :

$\lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{+}} \sin x = - 1$ ; $\lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} (1 + \cos x) = 1$ ;

Vì $\lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{+}} f (x)$ nên hàm số f(x) gián đoạn tại điểm $x = \frac{3 π}{2}$

Do đó, trên đoạn $[0; 2 π]$ hàm số chỉ gián đoạn tại điểm $x = \frac{3 π}{2}$

Do tính chất tuần hoàn của hàm số y = cosx và y = sinx suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm $x = \frac{3 π}{2} + k 2 π$ $, k \in ℤ$

Ta có $x \in (0; 2021)$ $\Leftrightarrow 0 < \frac{3 π}{2} + k 2 π < 2021$ $\Leftrightarrow - \frac{3}{4} < k < \frac{2021}{2 π} - \frac{3}{4} \approx 320 .902$

Vì $k \in ℤ$ nên $k \in \{0,1,2,....,320\}$

Vậy, hàm số f gián đoạn tại các điểm $x = \frac{3 π}{2} + k 2 π$ với $k \in \{0,1,2,....,320\}$ .

...Xem thêm

Answer 2