Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. M, N lần lượt thuộc các đoạn AD, A'C sao cho AM=15AD, A'N=25A'C . Chứng minh: a) (AB'D') // (BC'D). b) AC'⊥A'B. c) MN // (AB'D'). (ảnh 1)

a) Chứng minh $({AB}^{'} D^{'}) // ({BC}^{'} D)$ .

Từ giả thiết ta có $\begin{array}{l} BD // B^{'} D^{'} \\ {AB}^{'} // {DC}^{'} \end{array}\} \Rightarrow ({AB}^{'} D^{'}) // ({BC}^{'} D)$

b) Chứng minh ${AC}^{'} ⊥ A^{'} B$

Ta có: $\vec{{AC}^{'}} . \vec{A^{'} B} = (\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{{AA}^{'}}) .$ $(\vec{AB} - \vec{{AA}^{'}})$

$= {\vec{AB}}^{2} + \vec{AD} . \vec{AB} + \vec{{AA}^{'}} . \vec{AB} - \vec{AB} . \vec{{AA}^{'}} - \vec{AD} . \vec{{AA}^{'}} - {\vec{{AA}^{'}}}^{2} \Rightarrow \vec{{AC}^{'}} ⊥ \vec{A^{'} B} \Rightarrow {AC}^{'} ⊥ A^{'} B$ .

c) Chứng minh $MN // ({AB}^{'} D^{'})$

Dễ thấy M, N không thuộc (AB'D').

$MN // ({AB}^{'} D^{'}) \Leftrightarrow \vec{MN}, \vec{{AB}^{'}}, \vec{{AD}^{'}}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \exists m, n : \vec{MN} = m \vec{{AB}^{'}} + n \vec{{AD}^{'}}$

Đặt $\vec{AB} = \vec{a}, \vec{AD} = \vec{b}, \vec{{AA}^{'}} = \vec{c}$

$\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \vec{{AA}^{'}} + \vec{A^{'} N} - \frac{1}{5} \vec{AD} = \vec{c} + \frac{2}{5} \vec{A^{'} C} - \frac{1}{5} \vec{b} = \vec{c} + \frac{2}{5} (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) - \frac{1}{5} \vec{b} = \frac{2}{5} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{c}$

$\vec{{AB}^{'}} = \vec{a} + \vec{c}$ , $\vec{{AD}^{'}} = \vec{b} + \vec{c}$

$\vec{MN} = m \vec{{AB}^{'}} + n \vec{{AD}^{'}}$ $\Leftrightarrow \frac{2}{5} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{c}$ $= m \vec{a} + n \vec{b} + (m + n) \vec{c}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} m = \frac{2}{5} \\ n = \frac{1}{5} \end{cases}$ $\Rightarrow \vec{MN} = \frac{2}{5} \vec{{AB}^{'}} + \frac{1}{5} \vec{{AD}^{'}}$

Vậy MN // (AB'D').

...Xem thêm

Answer 2